Задача 109 — груз на пружине

Условие

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v\left( t \right)=5\sin \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t$ (см/с), где $t$ — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение

Скорость движения груза не должна превышать 2,5 см/с, причем $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t\in \left[ 0;\pi\right]$. Значит, $v\le 2,5$ cм/с и формула $v\left( t \right)=5\sin \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t$ примет вид:

\[\left\{ \begin{align}& 5\sin \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t\ge 2,5, \\ & 0< \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t< \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ ;} \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& \sin \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t\ge \frac{1}{2}, \\ & 0< \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t< \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ ;} \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\le \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t\le \frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z \\ & 0< \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t< \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ ;} \\ \end{align} \right.\]

\[\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\le \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }t\le \frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6};\]

\[\frac{1}{6}\le t\le \frac{5}{6}\]

Таким образом, $\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}=0,666...$ первой секунды после начала движения скорость груза превышала 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.

Правильный ответ

0,67

Смотрите также:
  1. Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)
  2. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
  3. Приведение дробей к общему знаменателю
  4. Основное тригонометрическое тождество
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
  6. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов