Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые — это просто две прямые, которые пересекаются под углом 90°:

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые встречаются в огромном количестве задач. Прямоугольные треугольники, координаты и даже клеточки в вашей тетради — это всё перпендикулярные прямые. Поэтому разберёмся с ними.

Урок состоит из пяти частей:

  1. Краткая вводная.
  2. Определение перпендикулярных прямых.
  3. Свойства перпендикулярных прямых.
  4. Простые задачи.
  5. Злые задачи.:)

Начнём с краткой вводной: что уже нужно знать про прямые и углы в данному моменту.

1. Кратная вводная

Для работы с перпендикулярными прямыми нам потребуются два вида углов: смежные и вертикальные.

1.1.Смежные углы

Определение. Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются продолжением друг друга.

Вот пример смежных углов с общей стороной $MN$:

Смежные углы

Основное свойство таких углов: их сумма всегда равна 180°:

\[\angle 1+\angle 2={180}^\circ \]

Таким образом, зная один смежный угол, мы тут же найдём другой.

1.2. Вертикальные углы

Определение. Углы, которые образуются при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга, называются вертикальными.

На самом деле на пересечении двух прямых возникает сразу две пары таких углов:

Вертикальные углы

Вертикальные углы всегда равны — и это их главное свойство. На рисунке мы видим, что $\angle 1=\angle 3$ и $\angle 2=\angle 4$.

1.3. Какие бывают углы

И вообще, нам пока известны четыре типа углов: острый, прямой, тупой и развёрнутый.

Четыре типа углов

Интересное свойство прямого угла: если при пересечении двух прямых возник прямой угол, то все остальные углы (вертикальные, смежные с ним) тоже будут прямыми. И вот тут мы переходим к основной теме урока.

2. Определение перпендикулярных прямых

Определение. Если при пересечении двух прямых возникло четыре прямых угла, такие прямые называются перпендикулярными.

Мы уже знаем, что достаточно найти на таком пересечении всего один угол в 90 градусов — остальные три угла станут прямыми автоматически:

Четыре прямых угла

Перпендикулярные прямые обозначают значком «$\bot $»: $AB\bot CD$, $a\bot b$ и т.д.

Часто в задачах рассматриваются не все прямые, а лишь отрезки, лежащие на этих прямых

3. Свойства перпендикулярных прямых

Сначала разберём два «стандартных» свойства, которые вы найдёте в любом учебнике геометрии 7-го класса. А затем — одно «нестандартное», но именно оно чаще всего и встречается в настоящих задачах.

3.1. Теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей

Теорема 1. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Две прямые перпендикулярны третьей

Прямая $AB\bot EF$ и прямая $MN\bot EF$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ не пересекаются. Проще говоря, они параллельны (см. урок «Параллельные прямые»).

3.2. Теорема о прямой, перпендикулярной данной

Теорема 2. Через каждую точку прямой можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.

Доказательство этой теоремы состоит из двух частей: сначала докажем, что такую прямую провести можно, а затем — что она единственная.

Прямая, перпендикулярная данной, строится очень просто. Рассмотрим прямую $a$, на которой отмечена точка $M$:

Прямая и точка на этой прямой

Отложим от луча $MK$ угол, равный 90°. В любую сторону: в верхнюю полуплоскость или нижнюю — не имеет значения. Получим луч $MN$:

Перпендикуляр к прямой

Наконец, продолжим луч $MN$ в противоположную другую сторону (т.е. построим дополнительный луч). Получим искомую прямую $MN\bot a$:

Построение перпендикулярной прямой

Единственность такого построения следует либо из аксиомы о том, что нужный угол можно отложить в нужном направлении одним и только одним способом, либо из предыдущей теоремы о двух прямых, перпендикулярных данной. В самом деле, пусть есть ещё одна прямая $ML$, которая, как и $MN$, перпендикулярна прямой $a$:

Две перпендикулярные прямые проходят через одну точку

Поскольку $MN\bot a$ и $ML\bot a$, по предыдущей теореме эти прямые не пересекаются. Что противоречит нашему построению, в котором у прямых $MN$ и $ML$ есть общая точка $M$. Следовательно, прямые $MN$ и $ML$ совпадают, что и требовалось доказать.

3.3. Важное свойство прямого угла

Две теоремы, которые мы рассмотрели выше, редко встречаются в реальных примерах. Зато сейчас мы рассмотрим свойство, которое действительно помогает решать многие задачи. Звучит оно очень просто:

Теорема 3. Если прямой угол разделить на две части, то сумма этих новых углов равна 90°. Другими словами, если один угол равен $\alpha $, то другой равен ${90}^\circ -\alpha $:

Два угла образуют прямой угол

Это утверждение может показаться очевидным. И оно действительно является таковым. Однако деление прямого угла на части встречается в задачах настолько часто, что я не мог не упомянуть об этом.

Кроме того, начинающие ученики часто не замечают такие углы на чертежах. Поэтому сейчас мы будем отрабатывать эту теорему на реальных задачах.

4. Простые задачи

Начнём с простых задач.

Задача 1. На рисунке $AB\bot MN$, $\angle NOT={37}^\circ $, $\angle BOT+\angle NOS={125}^\circ $. Найдите углы $MOS$ и $SOT$.

Перпендикулярные прямые задача 1 пересечение

Решение. Пусть $\angle NOS=x$. Тогда из равенства

\[\angle BOT+\angle NOS={125}^\circ \]

получаем, что $\angle BOT={125}^\circ -x$. С другой стороны, углы $BOT$ и $NOT$ в сумме дают 90°. Потому

\[\begin{align}{125}^\circ -x+{37}^\circ &={90}^\circ \\ x&={72}^\circ \end{align}\]

Теперь мы можем найти угол $SOT$:

\[\begin{align}\angle SOT &=\angle NOS+\angle NOT= \\ &={72}^\circ +{37}^\circ = \\ &={109}^\circ \end{align}\]

Кроме того, углы $MOS$ и $NOS$ — смежные, поэтому их сумма равна 180°. Отсюда получаем:

\[\begin{align}\angle MOS&={180}^\circ -\angle NOS= \\ &={180}^\circ -{72}^\circ = \\ &={108}^\circ \end{align}\]

Оба требуемых угла найдены. Задача решена.

Задача 2. Дан угол $AMC$, равный 140°. Внутри этого угла проведены лучи $MN$ и $MK$, причём $MN\bot MC$ и $MK\bot MA$. Найдите угол $KMN$.

Тупой угол задача 2 перпендикулярные прямые

Решение. Заметим, что угол $AMC$ составлен из углов $AMN$ и $CMN$, причём $\angle CMN={90}^\circ $ по условию. Найдём угол $AMN$:

\[\begin{align}\angle AMN &=\angle AMC-\angle NMC= \\ &={140}^\circ -{90}^\circ = \\ &={50}^\circ \end{align}\]

Точно так же найдём угол $CMK$, который вместе с углом прямым $AMK$ образует исходный угол $AMC$:

\[\begin{align}\angle CMK &=\angle AMC-\angle AMN= \\ &={140}^\circ -{90}^\circ = \\ &={50}^\circ \end{align}\]

Осталось найти искомый угол $KMN$:

\[\begin{align}\angle KMN &=\angle AMC-\angle AMN-\angle CMK= \\ &={140}^\circ -{50}^\circ -{50}^\circ = \\ &={40}^\circ \end{align}\]

Готово! Мы нашли нужный угол. Он равен 40 градусов.

Задача 3. Прямые $a$, $b$ и $c$ пересекаются в одной точке. Известно, что $a\bot b$ и $\angle 1={36}^\circ $. Найдите углы 2, 3 и 4.

Задача 3 пересекающиеся прямые разные углы

Решение. Углы 1 и 3 — вертикальные, поэтому они равны:

\[\angle 3=\angle 1={36}^\circ \]

Кроме того, углы 1 и 2 вместе образуют прямой угол, поэтому их сумма равна 90 градусов:

\[\begin{align}\angle 1+\angle 2 &={90}^\circ \\ \angle 2 &={90}^\circ -\angle 1= \\ &={90}^\circ -{36}^\circ = \\ &={54}^\circ \end{align}\]

Наконец, углы 2 и 4 — тоже вертикальные, поэтому они тоже равны:

\[\angle 4=\angle 2={54}^\circ \]

Итого мы нашли все требуемые углы. Они равны 54, 36 и 54 градуса.

Задача 4. На рисунке угол $AMC$ — развёрнутый, луч $MB\bot AC$, угол $KMN={90}^\circ $. Докажите, что $\angle BMN=\angle CMK$.

Задача 4 развёрнутый угол и прямые углы

Решение. Пусть $\angle BMK=x$. Тогда, поскольку $AC\bot MB$, углы $BMK$ и $CMK$ в сумме дают 90°. Отсюда получаем, что

\[\angle CMK={90}^\circ -x\]

С другой стороны, по условию задачи угол $NMK$ — прямой. Этот угол состоит из углов $BMN$ и $BMK$, поэтому

\[\angle BMN={90}^\circ -x\]

Видим, что углы $CMK$ и $BMN$ равны одной и той же величине: ${90}^\circ -x$. Следовательно, эти углы равны, что и требовалось доказать.

5. Злые задачи

Деление задач на простые и сложные весьма условно. Часто «сложными» называют многошаговые задачи и доказательства.

Задача 5. Дан угол $AMB$, равный 64°. Из вершины этого угла проведены лучи $MC$ и $MD$, причём $MC\bot MA$ и $MD\bot MB$. Кроме того, полученный тупой угол $AMD$ содержит в себе лучи $MB$ и $MC$, которые деля этот угол на три части. Найдите углы $CMD$ и $AMD$.

Решение. Эта задача похожа на задачу 2. Взгляните на чертёж:

Задача 5 тупой угол и перпендикулярные лучи

Поскольку угол $AMC$ — прямой, можем найти угол $BMC$:

\[\begin{align}\angle BMC &={90}^\circ -\angle AMB= \\ &={90}^\circ -{64}^\circ \\ &={26}^\circ\end{align}\]

С другой стороны, угол $BMD$ — тоже прямой, поэтому можем найти угол $CMD$:

\[\begin{align}\angle CMD &={90}^\circ -\angle BMC= \\ &={90}^\circ -{26}^\circ = \\ &={64}^\circ\end{align}\]

Вновь, как и в задаче 2, получили, что углы $AMB$ и $DMC$ равны. Но это не относится к делу. Найдём угол $AMD$, представив его как сумму углов $AMB$ и $BMD$:

\[\begin{align}\angle AMD &=\angle AMB+\angle BMD= \\ &={64}^\circ +{90}^\circ = \\ &={154}^\circ \end{align}\]

Задача 6. Дан прямой угол $AMB$. Луч $MC$ делит этот угол на два острых угла: $AMC$ и $BMC$. Угол между биссектрисами углов $AMC$ и $AMB$ равен 18°. Найдите углы $AMC$ и $BMC$.

Решение. Вот это уже довольно интересная задача. Взгляните на чертёж:

Задача 6 биссектрисы внутри прямого угла

Красным цветом обозначена биссектриса прямого угла $AMB$. Она разбивает этого угол на два маленьких угла по 45°.

Синим цветом обозначена биссектриса искомого угла $AMC$. Обозначим половинки этого угла за $x$ (имеется в виду, что каждая из половин угла $AMC$ содержит по $x$ градусов).

Но тогда угол между биссектрисами — это часть угла между стороной $MA$ прямого угла $AMB$ и биссектрисой этого же угла. Откуда получаем уравнение

\[\begin{align}{45}^\circ &=x+{18}^\circ \\ x &={45}^\circ -{18}^\circ ={27}^\circ \end{align}\]

Но тогда угол $AMC$ будет вдвое больше:

\[\angle AMC=2x={54}^\circ \]

А угол $BMC$, который дополняет $\angle AMC$ до прямого, можно найти по формуле

\[\begin{align}\angle BMC &={90}^\circ -\angle AMC= \\ &={90}^\circ -{54}^\circ ={36}^\circ\end{align}\]

Итого искомые углы равны 54 и 36 градусов.

Задача 7. Два равных тупых угла имеют общую сторону. Две другие стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла.

Задача 7 три угла вместе дают 360 градусов

Решение. Пусть два равных тупых угла содержат по $x$ градусов. Вместе с прямым углом (т.е. углом в 90 градусов) они образуют полный поворот, т.е. 360 градусов. Получаем уравнение:

\[\begin{align}2x+{90}^\circ&={360}^\circ\\ 2x &={270}^\circ \\ x &={135}^\circ\end{align}\]

Задача 8. Из вершины развёрнутого угла проведены два луча, которые делят этот угол на три равные части. Докажите, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развёрнутого угла.

Задача 8 развёрнутый угол биссектриса и доказательство

Доказательство. Обозначим развёрнутый угол как $AOD$, а дополнительные лучи — $OB$ и $OC$. Биссектриса угла $BOC$ — это луч $MO$ (отмечен красным цветом).

Поскольку углы $AOB$, $BOC$ и $COD$ равны и в сумме образуют развёрнутый угол, их градусные меры также равны и составляют треть от 180°:

\[\angle AOB=\angle BOC=\angle COD={60}^\circ \]

Кроме того, поскольку $OM$ — биссектриса, то углы $BOM$ и $COM$ равны между собой:

\[\angle BOM=\angle COM={30}^\circ \]

Однако угол $AOM$ составлен из углов $AOB$ и $BOM$, поэтому

\[\begin{align}\angle AOM &=\angle AOB+\angle BOM= \\ &={60}^\circ +{30}^\circ ={90}^\circ \end{align}\]

Получили, что $OM\bot AD$, что и требовалось доказать.

Смотрите также:
  1. Что такое вертикальные углы
  2. Что такое смежные углы
  3. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  4. Задача B3 — работа с графиками
  5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
  6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение