Вертикальные углы в геометрии

В двух словах: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых, не имеют общих сторон и всегда равны друг другу.

Содержание

  1. Определение и примеры
  2. Основная теорема
  3. Комбинированные задачи

1. Определение и примеры

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.

На рисунке ниже пересекаются две прямые: $AB$ и $MN$:

[Картинка 180px: Вертикальные углы, vertikalnie-ugli]

Вертикальные углы

В результате образуются две пары вертикальных углов: $\angle ASM$ и $\angle BSN$, а также $\angle ASN$ $\angle BSM$.

Обратите внимание: вертикальные углы образуются только в точке пересечении прямых. Например, углы $ASM$ и $BSN$ на картинке ниже — не вертикальные, даже если они равны:

[Картинка 180px: Развёрнутый угол на три части, razvernutij-ugol-tri-chasti]

Развёрнутый угол на три части

Если в одной точке пересекается более двух прямых, то вертикальных углов становится очень много:

[Картинка 180px: Множество вертикальных углов, mnozhestvo-vertikalnih-uglov]

Множество вертикальных углов

Я не случайно пометил вертикальные углы одинаковыми дугами. Дело в том, что верна следующая теорема.

2. Основная теорема

Теорема 1. Вертикальные углы всегда равны друг другу.

Доказательство. Рассмотрим «синие» вертикальные $ASN$ и $BSM$. Каждый из них является смежным с углом $BSN$:

[Картинка 180px: Вертикальные углы, vertikalnie-ugli]

Вертикальные углы

Но сумма смежных углов равна 180°, и если $\angle BSN=x$, то

\[\begin{align}\angle ASN&={180}^\circ -x \\ \angle BSM&={180}^\circ -x \end{align}\]

Итак, вертикальные углы равны одной и той же величине. Т.е. они равны между собой.

Эта теорема позволяет решать огромное количество задач — от самых простых до весьма нетривиальных. Начнём с простых.

Задача 1. Найдите углы 2, 3 и 4, если $\angle 1={134}^\circ $.

[Картинка 180px: Два различных вертикальных угла, dva-razlichnih-vertikalnih-ugla]

Два различных вертикальных угла

Решение.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $\angle 3=\angle 1={134}^\circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

\[\begin{align}\angle 1+\angle 2&={180}^\circ \\ \angle 2&={180}^\circ -\angle 2= \\ &={180}^\circ -{134}^\circ ={46}^\circ \end{align}\]

Углы 2 и 4 вертикальные, поэтому они равны: $\angle 4=\angle 2={46}^\circ $.

Из всех чертежей видно, что при пересечении двух прямых обычно возникает два острых угла и два тупых. Причём острый и тупой угол всегда будут смежными.

Если предположить, что острый угол равен $x$ градусов, то тупой равен $180-x$ градусов.

Задача 2. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 68°.

Решение. Пусть острые углы содержат $x$ градусов. Тогда смежные с ними тупые углы содержат по ${180}^\circ -x$ градусов.

[Картинка 180px: Вертикальные углы острые и тупые, vertikalnie-ugli-ostrie-tupie]

Вертикальные углы острые и тупые

По условию задачи, разность двух углов равна 68°. Очевидно, речь идёт о смежных углах. Потому что разность вертикальных углов была бы равна нулю. Вычитаем из тупого угла острый и получаем:

\[\begin{align}{180}^\circ -x-x&={68}^\circ\\ 2x&={112}^\circ\\ x&={56}^\circ\end{align}\]

Итак, острые углы содержат по 56°. Тогда тупые углы содержат по 124°.

Единственный случай, когда все вертикальные углы равны — это когда прямые перпендикулярны, т.е. пересекаются под углом 90°.

[Картинка 180px: Все вертикальные углы прямые, vse-vertikalnie-ugli-pryamie]

Все вертикальные углы прямые

Задача 3. На рисунке прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, $\angle 1={35}^\circ $. Найдите углы 2, 3 и 4.

[Картинка 180px: Перпендикулярные прямые смежные углы, perpendikulyarnie-pryamie-smezhnie-ugli]

Перпендикулярные прямые смежные углы

Решение.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $\angle 3=\angle 1={36}^\circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

\[\begin{align}\angle 1+\angle 2&={180}^\circ \\ \angle 2&={180}^\circ -\angle 1= \\ &={180}^\circ -{36}^\circ ={144}^\circ \end{align}\]

Углы 3 и 4 вместе образуют прямой угол, поэтому их сумма равна 90°:

\[\begin{align}\angle 3+\angle 4&={90}^\circ \\ \angle 4&={90}^\circ -\angle 3= \\ &={90}^\circ -{36}^\circ ={54}^\circ \end{align}\]

Перед тем как переходить к более сложным задачам, рассмотрим ещё одно интересное свойство вертикальных углов.

Теорема 2. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство. В самом деле, пусть $SC$ и $SD$ — биссектрисы вертикальных углов $ASM$ и $BSN$ соответственно.

[Картинка 180px: Биссектрисы вертикальных углов, bissektrisi-vertikalnih-uglov]

Биссектрисы вертикальных углов

Допустим, градусные меры углов $ASM$ и $BSN$ равны $2x$. Тогда градусные меры всех маленьких углов $ASC$, $BSD$ и т.д. равны $x$. Но тогда

\[\begin{align}\angle CSD&=\angle CSA+\angle ASN+\angle NSD= \\ &=2x+\angle ASN \end{align}\]

С другой стороны, углы $ASN$ и $MSN=2x$ смежные, поэтому

\[2x+\angle ASN={180}^\circ \]

Итак, угол $\angle CSD={180}^\circ $, т.е. является развёрнутым. А это как раз и означает, что лучи $SC$ и $SD$ являются дополнительными друг другу и образуют прямую.

3. Комбинированные задачи

Рассмотрим несколько более сложных задач. Тут встречаются вертикальные углы, смежные углы, а также перпендикуляры.

Задача 4. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

  1. Сумма двух из них равна 110°.
  2. Сумма трёх из них равна 308°.

Решение. Для обоих пунктов будем использовать один и тот же чертёж. Пусть острые вертикальные углы содержат по $x$ градусов, тогда два других угла содержат по ${180}^\circ -x$ градусов:

[Картинка 180px: Вертикальные углы острые и тупые, vertikalnie-ugli-ostrie-tupie]

Вертикальные углы острые и тупые

1. Если сумма двух углов равна 110°, то, очевидно, речь идёт о вертикальных углах. Потому что сумма смежных углов всегда равна 180°, а не 110°.

Кроме того, это явно острые углы, иначе их сумма была бы больше 180°. Поэтому

\[\begin{align}x+x&={110}^\circ\\ 2x&={110}^\circ\\ x&={55}^\circ\end{align}\]

Итак, острые вертикальные углы содержат по 55°. Следовательно, смежные с ними тупые вертикальные углы содержат по 125°.

2. Сумма трёх углов всегда содержит два вертикальных и один смежный с ними. Например, так:

[Картинка 180px: Сумма трёх углов, summa-treh-uglov]

Сумма трёх углов

Зелёным пунктиром обозначены три угла, участвующие в сумме. Следовательно, эта сумма равна

\[\begin{align}\left( {180}^\circ -x \right)+x+\left( {180}^\circ -x \right)&={308}^\circ \\ {360}^\circ -x&={308}^\circ\\ x&={52}^\circ\end{align}\]

Итак, углы равны 52° и 128°.

Эту задачу можно решить по-разному. Взгляните ещё раз на чертёж:

[Картинка 180px: Сумма трёх углов, summa-treh-uglov]

Сумма трёх углов

Мы знаем, что «большой зелёный угол» содержит 308°. А «полный оборот» содержит 360°. Но чтобы получить полный оборот, нужно добавить к зелёному сектору небольшой угол $x$. Поэтому

\[\begin{align}{308}^\circ +x&={360}^\circ\\ x&={52}^\circ\end{align}\]

Возможно, такой подход покажется вам более простым и «очевидным».

Заметьте: благодаря введённым обозначениям нам даже не потребовались буквы для обозначения углов.:)

Задача 5. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 250°. Докажите, что эти углы вертикальные.

Решение. Пусть тупой угол $ACN$ содержит $x$ градусов. Тогда смежный с ним угол $BCN$ содержит ${180}^\circ -x$ градусов, а вертикальный угол $BCM$ тоже равен $x$ градусов:

[Картинка 190px: Доказательство вертикальных углов, dokazatelstvo-vertikalnih-uglov]

Доказательство вертикальных углов

Но тогда

\[\angle ACN+\angle BCN={180}^\circ \ne {250}^\circ \]

И это вполне логично, поскольку сумма смежных углов всегда равна 180°. То же самое можно сказать, например, про углы $ACN$ и $ACM$ — они тоже смежные.

Остаётся лишь вариант вертикальных углов $ACN$ и $BCM$. Но эти углы вертикальные, что и требовалось доказать.

В последнем задании мы построили чертёж исходя из следующих соображений. Если искомые углы вертикальные (а именно это мы и пытаемся доказать), то они равны, и каждый из них будет равен 125°. Следовательно, речь идёт о тупых углах, поэтому именно тупые углы мы обозначили за $x$.

Помните: в геометрии важно построить правильный чертёж. И чем сложнее задачи, тем выше требования к качеству чертежей. Иначе на можно просто «не увидеть» алгоритм решения задачи.

Кроме того, в следующих уроках мы будем всё чаще отождествлять углы и их градусные меры. Абсолютно нормально писать и говорить «угол $ABC$ равен $x$» вместо «угол $ABC$ содержит $x$ градусов» — все прекрасно поймут, о чём речь.

Смотрите также:
  1. Как применяется теорема косинусов и подобие треугольников для решения широкого класса задач в планиметрии.
  2. Теорема менелая
  3. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  4. Задание 6 — геометрия с элементами тригонометрии
  5. Задача 18: метод симметричных корней
  6. Задача B2 про комиссию в терминале