Схема Горнера — это алгоритм для быстрого (счёт идёт на секунды) вычисления значения многочлена
\[P\left( x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}\]
в точке $x=a$. Также схема Горнера позволяет быстро (быстрее, чем столбиком) делить многочлен $P\left( x \right)$ на линейные двучлены вида $x-a$, искать остатки от деления и многое другое.
Содержание
Итак, рассмотрим многочлен
\[P\left( x \right)= \color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+\color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +\color{blue}{{a}_{1}}x+\color{blue}{{a}_{0}}\]
Для наглядности коэффициенты выделены синим цветом. Распишем схему Горнера для многочлена $P\left( x \right)$ в точке $x=\color{red}{a}$. Для этого заполним таблицу
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}{a} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
В первой строке мы видим коэффициенты многочлена $P\left( x \right)$ в порядке убывания степеней. Таких коэффициентов всегда на один больше, чем степень многочлена: для квадратного многочлена всего 3 коэффициента, для кубического — уже 4, и т.д.
Во второй строке таблицы мы вписываем лишь число $\color{red}{a}$ в самой левой клетке. Остальные клетки заполняются последовательно по следующему алгоритму.
В первую свободную клетку мы переносим элемент из верхней строки без изменений. Назовём этот элемент ${{b}_{n-1}}$ — дальше вы поймёте, зачем нужна такая нумерация:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}{a} & {{b}_{n-1}}={{a}_{n}} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Вторая клетка — элемент ${{b}_{n-2}}$ — считается по формуле ${{b}_{n-2}}={{b}_{n-1}}\cdot \color{red}{a}+\color{blue}{{a}_{n-1}}$. Другими словами, берём элемент слева, умножаем на число $a$ и добавляем элемент сверху:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}{a} & {{b}_{n-1}} & {{b}_{n-2}}={{b}_{n-1}}\cdot \color{red}{a}+\color{blue}{{a}_{n-1}} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Далее находим элемент ${{b}_{n-3}}$ по аналогичной формуле: ${{b}_{n-3}}={{b}_{n-2}}\cdot \color{red}{a}+\color{blue}{{a}_{n-2}}$. Заносим результат в третью клетку:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}a & {{b}_{n-1}} & {{b}_{n-2}} & {{b}_{n-3}}={{b}_{n-2}}\cdot \color{red}{a}+\color{blue}{{a}_{n-2}} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Аналогично находим элементы ${{b}_{n-4}}$, ${{b}_{n-5}}$ и далее. Берём элемент слева, умножаем на исходное число $\color{red}{a}$, добавляем элемент сверху, результат записываем в клетку:
\[{{b}_{k-1}}={{b}_{k}}\cdot\color{red}{a}+\color{blue}{{a}_{k}}\]
В какой-то момент мы доберёмся до элемента ${{b}_{0}}$, который находится в клетке под коэффициентом $\color{blue}{{a}_{1}}$:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}{a} & {{b}_{n-1}} & {{b}_{n-2}} & {{b}_{n-3}} & \ldots & {{b}_{0}}={{b}_{1}}\cdot \color{red}{a}+\color{blue}{{a}_{1}} & {} \\ \end{array}\]
Элемент в последней клетке считается по той же схеме: ${{b}_{0}}\cdot \color{red}{a}+\color{blue}{{a}_{0}}$. Обозначим его буквой $r$:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}{a} & {{b}_{n-1}} & {{b}_{n-2}} & {{b}_{n-3}} & \ldots & {{b}_{0}} & r={{b}_{0}}\cdot \color{red}{a}+\color{blue}{{a}_{0}} \\ \end{array}\]
Итак, мы заполнили все клетки и получили таблицу:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}{a} & {{b}_{n-1}} & {{b}_{n-2}} & {{b}_{n-3}} & \ldots & {{b}_{0}} & r \\ \end{array}\]
Схема заполнения этой таблицы как раз и называется схемой Горнера. Найденные элементы ${{b}_{n-1}}$, ..., ${{b}_{0}}$ и $r$ позволяют переписать исходный многочлен $P\left( x \right)$ в виде
\[P\left( x \right)=\left( {{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}} \right)\left( x-\color{red}{a} \right)+r\]
Такая запись оказывается грозным оружием для решения задач с многочленами, если знать её свойства. И сегодня мы изучим все эти свойства, но сначала немного практики.
Заполните таблицу по схеме Горнера для многочлена
\[P\left( x \right)=2{{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x-3\]
в точке $x=3$.
Решение. Для начала аккуратно запишем коэффициенты исходного многочлена. Для наглядности они вновь помечены синим:
\[P\left( x \right)= \color{blue}{2}\cdot {{x}^{4}}+\left( \color{blue}{-7} \right)\cdot {{x}^{3}}+\color{blue}{1}\cdot {{x}^{2}}+\color{blue}{2} \cdot x+\left( \color{blue}{-3} \right)\]
Составим таблицу. Поскольку степень многочлена $\deg P\left( x \right)=4$, в таблице будет пять основных столбцов и один дополнительный столбец слева, в котором мы запишем число $x=\color{red}{3}$:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-7} & \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-3} \\ \hline\color{red}{3} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Заполняем пустые клетки во второй строке. В первую клетку переносим без изменений элемент сверху:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-7} & \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-3} \\ \hline\color{red}{3} & 2 & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Элемент во второй клетке считается по формуле $2\cdot \color{red}{3}+\left( \color{blue}{-7} \right)=-1$:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-7} & \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-3} \\ \hline\color{red}{3} & 2 & -1 & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Третью и четвёртую клетку заполняем аналогично: сначала $-1\cdot \color{red}{3}+\color{blue}{1}=-2$, затем $-2\cdot \color{red}{3}+\color{blue}{2}=-4$:
\[\begin{array}{c|c|r|r|r|c} {} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-7} & \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-3} \\ \hline\color{red}{3} & 2 & -1 & -2 & -4 & {} \\ \end{array}\]
Наконец, последняя клетка: $-4\cdot \color{red}{3}+\left( \color{blue}{-3} \right)=-15$:
\[\begin{array}{c|c|r|r|r|r} {} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-7} & \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-3} \\ \hline\color{red}{3} & 2 & -1 & -2 & -4 & -15 \\ \end{array}\]
Готово! Мы заполнили таблицу по схеме Горнера.
Заполните таблицу по схеме Горнера для многочлена
\[P\left( x \right)={{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-4\]
в точке $x=1$.
Решение. Обратите внимание: в записи многочлена отсутствуют одночлены ${{x}^{2}}$ и $x$. Другими словами, коэффициенты в этих двух одночленах равны нулю:
\[P\left( x \right)= \color{blue}{1}\cdot {{x}^{4}}+\color{blue}{3}\cdot {{x}^{3}}+\color{blue}{0}\cdot {{x}^{2}}+\color{blue}{0} \cdot x+\left( \color{blue}{-4} \right)\]
Для наглядности мы вновь отметили коэффициенты синим цветом — всего их снова пять, т.е. на один больше степени многочлена. И все они переносятся в таблицу. Пропуск нулевых коэффициентов будет грубой ошибкой:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{3} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{blue}{-4} \\ \hline\color{red}{1} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Заполняем таблицу по схеме Горнера. Первый элемент переносим сверху:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{3} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{blue}{-4} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Второй, третий и четвёртый элемент считаем по формуле: $1\cdot \color{red}{1}+\color{blue}{3}=4$; $4\cdot \color{red}{1}+\color{blue}{0}=4$; $4\cdot \color{red}{1}+\color{blue}{0}=4$:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{3} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{blue}{-4} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & 4 & 4 & 4 & {} \\ \end{array}\]
Наконец, последний элемент таблицы: $4\cdot \color{red}{1}+\left( \color{blue}{-4} \right)=0$:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|r} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{3} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & \color{blue}{-4} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & 4 & 4 & 4 & 0 \\ \end{array}\]
Готово! Таблица заполнена, последний элемент оказался равен нулю. И это не случайно. Скоро узнаем почему.:)
Чтобы понять, зачем нужна схема Горнера, давайте вкратце повторим всю цепочку рассуждений. Берём произвольный многочлен
\[P\left( x \right)= \color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+\color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +\color{blue}{{a}_{1}}x+\color{blue}{{a}_{0}}\]
и произвольную точку $x=\color{red}{a}$. Составляем таблицу:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}{a} & {{b}_{n-1}} & {{b}_{n-2}} & {{b}_{n-3}} & \ldots & {{b}_{0}} & r \\ \end{array}\]
Найденные коэффициенты ${{b}_{n-1}}$, ..., ${{b}_{0}}$, $r$ позволяют переписать многочлен $P\left( x \right)$ в новом виде:
\[P\left( x \right)=\left( {{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}} \right)\left( x-\color{red}{a} \right)+r\]
Но чем так примечательна эта запись? В ближайших четырёх пунктах мы детально разберём все её свойства. И начнём с самого простого. Подставим в эту новую запись число $x=\color{red}{a}$, т.е. вычислим $P\left( \color{red}{a} \right)$:
\[P\left( \color{red}{a} \right)=\left( {{b}_{n-1}}{\color{red}{a}^{n-1}}+\ldots +{{b}_{1}}\color{red}{a}+{{b}_{0}} \right)\left( \color{red}{a}-\color{red}{a} \right)+r=r\]
Итак, последнее число $r$ в таблице — это значение многочлена $P\left( x \right)$ в точке $x=\color{red}{a}$:
\[P\left( \color{red}{a} \right)=r\]
А это значит, что благодаря схеме Горнера можно считать значения многочленов быстро (нет операции возведения в степень) и надёжно (в сложении мы ошибаемся реже, чем в умножении).
Так, из Примера 1 следует, что значение многочлена
\[P\left( x \right)=2{{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x-3\]
в точке $x=3$ равно
\[P\left( 3 \right)=r=-15\]
Сравните это с прямой подстановкой $x=3$ в многочлен:
\[\begin{align} P\left( 3 \right) &=2\cdot {{3}^{4}}-7\cdot {{3}^{3}}+{{3}^{2}}+2\cdot 3-3= \\ &=2\cdot 81-7\cdot 27+\left( 9+6-3 \right)= \\ &=162-189+12= \\ &=-15 \end{align}\]
Результат один и тот же, но объём вычислений вырос на порядок.
С помощью схемы Горнера найдите значение многочлена
\[P\left( x \right)=8{{x}^{4}}-12{{x}^{3}}-24{{x}^{2}}+11x+7\]
в точке $x=2,5$.
Решение. Выделим коэффициенты многочлена
\[P\left( x \right)= \color{blue}{8}\cdot {{x}^{4}}+\left( \color{blue}{-12} \right)\cdot {{x}^{3}}+\left( \color{blue}{-24} \right)\cdot {{x}^{2}}+\color{blue}{11} \cdot x+\color{blue}{7}\]
и заполним таблицу для $x=\color{red}{2,5}$:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{8} & \color{blue}{-12} & \color{blue}{-24} & \color{blue}{11} & \color{blue}{7} \\ \hline\color{red}{2,5} & 8 & 8 & -4 & 1 & 9,5 \\ \end{array}\]
Итого значение многочлена $P\left( \color{red}{2,5} \right)=9,5$. Точно такое же значение можно получить прямой подстановкой, но вычисления будут настолько громоздкими, что мы не будем приводить их.
Напомню, что разделить многочлен $\color{blue}{P\left( x \right)}$ на многочлен $\color{red}{A\left( x \right)}$ с остатком — значит найти многочлены $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$ такие, что
\[\color{blue}{P\left( x \right)}=Q\left( x \right)\cdot \color{red}{A\left( x \right)}+R\left( x \right)\]
причём степень многочлена $R\left( x \right)$ строго меньше степени делителя $\color{red}{A\left( x \right)}$:
\[\deg R\left( x \right) \lt \deg \color{red}{A\left( x \right)}\]
Многочлен $Q\left( x \right)$ называют неполным частным, $R\left( x \right)$ — остатком от деления. Можно показать, что $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$ определены однозначно для исходных многочленов $\color{blue}{P\left( x \right)}$ и $\color{red}{A\left( x \right)}$.
Пусть $A\left( x \right)=x- \color{red}{a}$ — линейный двучлен. Очевидно, его степень $\deg A\left( x \right)=1$.
Рассмотрим произвольный многочлен
\[P\left( x \right)= \color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+\color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +\color{blue}{{a}_{1}}x+\color{blue}{{a}_{0}}\]
и составим таблицу для $x=\color{red}{a}$ по схеме Горнера:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}{a} & {{b}_{n-1}} & {{b}_{n-2}} & {{b}_{n-3}} & \ldots & {{b}_{0}} & r \\ \end{array}\]
Получим новую запись многочлена $P\left( x \right)$:
\[P\left( x \right)=\left( {{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}} \right)\left( x-\color{red}{a} \right)+r\]
где $r$ — обычное число, т.е. $\deg r=0 \lt \deg A\left( x \right)$. Но тогда многочлен
\[Q\left( x \right)={{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{n-2}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}}\]
является неполным частным при делении $P\left( x \right)$ на двучлен $x-\color{red}{a}$, а число $r$ — остаток этого деления:
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot \left( x-\color{red}{a} \right)+r\]
Итак, схема Горнера позволяет быстро находить неполное частное и остаток от деления произвольного многочлена $P\left( x \right)$ на двучлен $x-\color{red}{a}$.
Найдите частное и остаток при делении многочлена
\[{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-6x+10\]
На многочлен $x-1$.
Решение. Выделим синим цветом коэффициенты исходного многочлена:
\[\color{blue}{1}\cdot {{x}^{4}}+\left( \color{blue}{-2} \right)\cdot {{x}^{3}}+\color{blue}{4}\cdot {{x}^{2}}+\left( \color{blue}{-6} \right)\cdot x+\color{blue}{10}\]
Заполним таблицу по схеме Горнера для $x=\color{red}{1}$:
\[\begin{array}{c|c|r|c|r|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{4} & \color{blue}{-6} & \color{blue}{10} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & -1 & 3 & -3 & 7 \\ \end{array}\]
Первые четыре числа — это коэффициенты многочлена-частного. Отметим их зелёным цветом:
\[\begin{array}{c|c|r|c|r|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{4} & \color{blue}{-6} & \color{blue}{10} \\ \hline\color{red}{1} & \color{#green}{1} & \color{#green}{-1} & \color{#green}{3} & \color{#green}{-3} & 7 \\ \end{array}\]
Остаток от деления равен $r=7$. Составим многочлен-частное:
\[Q\left( x \right)= \color{#green}{1}\cdot {{x}^{3}}+\left( \color{#green}{-1} \right)\cdot {{x}^{2}}+\color{#green}{3}\cdot x+\left( \color{#green}{-3} \right)\]
Очевидно, при делении на линейный двучлен степень частного должна быть на единицу меньше степени исходного многочлена. Так и получилось:
\[\deg Q\left( x \right)=4-1=3\]
Убедитесь, что многочлен
\[{{x}^{5}}-6{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}-33{{x}^{2}}+44x-28\]
делится на двучлен ${{\left( x-2 \right)}^{2}}$.
Решение. Многочлен делится без остатка на ${{\left( x-2 \right)}^{2}}$, если сначала он делится на двучлен $x-2$, а затем частное вновь делится на $x-2$. Следовательно, решение состоит из двух шагов.
Первый шаг: выделим коэффициенты исходного многочлена
\[\color{blue}{1}\cdot {{x}^{5}}+\left( \color{blue}{-6} \right)\cdot {{x}^{4}}+\color{blue}{16}\cdot {{x}^{2}}+\left( \color{blue}{-33} \right)\cdot {{x}^{2}}+\color{blue}{52} \cdot x+\left( \color{blue}{-36} \right)\]
\[\begin{align}\color{blue}{1}\cdot {{x}^{5}} &+\left( \color{blue}{-6} \right)\cdot {{x}^{4}}+\color{blue}{16}\cdot {{x}^{2}}+ \\ &+\left( \color{blue}{-33} \right)\cdot {{x}^{2}}+\color{blue}{52} \cdot x+\left( \color{blue}{-36} \right) \\ \end{align}\]
Составим таблицу для $x=\color{red}{2}$. В ней будет 6 основных столбцов:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{-6} & \color{blue}{16} & \color{blue}{-33} & \color{blue}{52} & \color{blue}{-36} \\ \hline\color{red}{2} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Заполним все пустые клетки по схеме Горнера:
\[\begin{array}{c|c|c|c|r|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{-6} & \color{blue}{16} & \color{blue}{-33} & \color{blue}{52} & \color{blue}{-36} \\ \hline\color{red}{2} & \color{green}{1} & \color{green}{-4} & \color{green}{8} & \color{green}{-17} & \color{green}{18} & 0 \\ \end{array}\]
Получили остаток $r=0$, поэтому исходный многочлен действительно делится на $x-\color{red}{2}$, а частное равно
\[Q\left( x \right)= \color{green}{1}\cdot {{x}^{4}}+\left( \color{green}{-4} \right)\cdot {{x}^{3}}+\color{green}{8}\cdot {{x}^{2}}+\left( \color{green}{-17} \right) \cdot x+\color{green}{18}\]
Следовательно, исходный многочлен можно представить так:
\[\begin{align} & {{x}^{5}}-6{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}-33{{x}^{2}}+44x-28= \\ = & \left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}-17x+18 \right)\cdot \left( x-\color{red}{2} \right) \\ \end{align}\]
Второй шаг: выделяем коэффициенты и заполняем ту же самую таблицу, но уже для многочлена $Q\left( x \right)$.
\[Q\left( x \right)= \color{blue}{1}\cdot {{x}^{4}}+\left( \color{blue}{-4} \right)\cdot {{x}^{3}}+\color{blue}{8}\cdot {{x}^{2}}+\left( \color{blue}{-17} \right) \cdot x+\color{blue}{18}\]
Но все коэффициенты в нужном количестве уже присутствуют в таблице, которую мы получили на предыдущем шаге. А потому достаточно приписать к этой таблице ещё одну строку и вновь заполнить её для $x=\color{red}{2}$:
\[\begin{array}{c|c|c|c|r|c|c} {} & 1 & -6 & 16 & -33 & 52 & -36 \\ \hline\color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{-4} & \color{blue}{8} & \color{blue}{-17} & \color{blue}{18} & 0 \\ \hline\color{red}{2} & \color{green}{1} & \color{green}{-2} & \color{green}{4} & \color{green}{-9} & 0 & {} \\ \end{array}\]
Остаток от деления равен нулю, поэтому многочлен $Q\left( x \right)$ делится на $x-\color{red}{2}$, и его можно переписать так:
\[Q\left( x \right)=\left( \color{green}{1}\cdot {{x}^{3}}+\left( \color{green}{-2} \right){{x}^{2}}+\color{green}{4} \cdot x+\left( \color{green}{-9} \right) \right)\cdot \left( x-\color{red}{2} \right)\]
Возвращаясь к исходному многочлену, получим
\[\begin{align} & {{x}^{5}}-6{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}-33{{x}^{2}}+44x-28= \\ = & \left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+4x-9 \right)\cdot {{\left( x-\color{red}{2} \right)}^{2}} \\ \end{align}\]
Такая запись, как и приведённая выше таблица, доказывает, что исходный многочлен делится на ${{\left( x-\color{red}{2} \right)}^{2}}$.
Обратите внимание: на каждом следующем шаге количество коэффициентов уменьшается на единицу:
Всё это пригодится нам в следующем пункте.
До сих пор мы применяли схему Горнера для некоторой точки $x=\color{red}{a}$, которая была прямо указана в условии задачи. Но что если найти такую точку — как раз и есть условие задачи?
Рассмотрим уравнение
\[\color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+\color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +\color{blue}{{a}_{1}}x+\color{blue}{{a}_{0}}=0\]
Число $x=\color{red}{a}$ будет корнем этого уравнения, если $P\left( \color{red}{a} \right)=0$. Это значит, что последний элемент в схеме Горнера должен быть равен нулю:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline\color{red}{a} & {{b}_{n-1}} & {{b}_{n-2}} & {{b}_{n-3}} & \ldots & {{b}_{0}} & \color{green}{0} \\ \end{array}\]
Следовательно, мы можем быстро проверить, является ли число $x=\color{red}{a}$ корнем уравнения. Достаточно просто подставить его в таблицу и найти последний элемент.
Кроме того, мы знаем, что последний элемент — это остаток $r$. При $r=\color{green}{0}$ исходное уравнение примет вид
\[\left( {{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}} \right)\left( x-\color{red}{a} \right)=0\]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Откуда либо $x-\color{red}{a}=0$ (этот случай мы уже разобрали), либо
\[\color{blue}{{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +\color{blue}{{b}_{1}}x+\color{blue}{{b}_{0}}=0\]
Получили новое уравнение — меньшей степени, чем исходное. Коэффициенты этого уравнения уже занесены в таблицу, и к нему вновь применима схема Горнера для перебора кандидатов в корни.
Более того: этот перебор можно ускорить. Но об этом чуть позже. Сначала рассмотрим пару простых примеров.
Решите уравнение:
\[{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+23x+15=0\]
Решение. Заметим, что все коэффициенты многочлена положительны, поэтому уравнение не имеет положительных корней. Иначе, если $x \gt 0$, левая часть равенства представляет собой сумму положительных чисел, которая никогда не равна нулю.
Рассмотрим отрицательные числа. Начнём с $x=\color{red}{-1}$:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{9} & \color{blue}{23} & \color{blue}{15} \\ \hline\color{red}{-1} & 1 & 8 & 15 & \color{green}{0} \\ \end{array}\]
Получили $r=\color{green}{0}$. Следовательно, $x=\color{red}{-1}$ — корень, и всё уравнение можно переписать так:
\[\left( {{x}^{2}}+8x+15 \right)\left( x+1 \right)=0\]
Далее уравнение разделяется на линейное $x+1=0$, которое мы уже решили, и квадратное
\[{{x}^{2}}+x+15=0\]
Такое уравнение можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Получим корни $x=-3$ и $x=-5$.
Окончательный ответ: $x=-1$, $x=-3$, $x=-5$.
Впрочем, с тем же успехом мы могли продолжить решение по схеме Горнера:
\[\begin{array}{r|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{9} & \color{blue}{23} & \color{blue}{15} \\ \hline\color{red}{-1} & 1 & 8 & 15 & \color{green}{0} \\ \hline\color{red}{-3} & 1 & 5 & \color{green}{0} & {} \\ \hline\color{red}{-5} & 1 & \color{green}{0} & {} & {} \\ \end{array}\]
При этом уравнение примет вид
\[\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)\left( x+1 \right)=0\]
По сути, мы получили разложение на множители. И чуть ниже об этом будет отдельный пункт.
Решите уравнение:
\[2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-5x-2=0\]
Решение. В этот раз мы видим, что корни вполне могут быть положительными. Начнём с $x=\color{red}{1}$:
\[\begin{array}{c|c|r|r|r} {} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-1} & \color{blue}{-5} & \color{blue}{-2} \\ \hline\color{red}{1} & 2 & 1 & -4 & \color{red}{-6} \\ \end{array}\]
Получили $r=\color{red}{-6}\ne 0$. Следовательно, $x=\color{red}{1}$ не является корнем. Проверим $x=\color{red}{2}$:
\[\begin{array}{c|c|r|r|r} {} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-1} & \color{blue}{-5} & \color{blue}{-2} \\ \hline\color{red}{1} & 2 & 1 & -4 & \color{red}{-6} \\ \hline\color{red}{2} & 2 & 3 & 1 & \color{green}{0} \\ \end{array}\]
Обратите внимание: при заполнении третьей строки таблицы мы игнорируем вторую строку, где нас постигла неудача. И если бы мы могли стирать строки, то схема Горнера выглядела бы так:
\[\begin{array}{c|c|r|r|r} {} & \color{blue}{2} & \color{blue}{-1} & \color{blue}{-5} & \color{blue}{-2} \\ \hline\color{red}{2} & 2 & 3 & 1 & \color{green}{0} \\ \end{array}\]
В любом случае мы получили $r=\color{green}{0}$, поэтому $x=\color{red}{2}$ — корень, и уравнение примет вид
\[\left( 2{{x}^{2}}+3x+1 \right)\left( x-2 \right)=0\]
Далее можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно продолжить заполнять таблицу. Например, для $x=\color{red}{-1}$:
\[\begin{array}{r|c|r|r|r} {} & 2 & -1 & -5 & -2 \\ \hline1 & 2 & 1 & -4 & -6 \\ \hline2 & \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & \color{blue}{1} & \color{green}{0} \\ \hline-1 & 2 & 1 & \color{green}{0} & {} \\ \end{array}\]
Вновь получили ноль в последней клетке, поэтому $x=\color{red}{-1}$ — тоже корень, а уравнение примет вид
\[\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)=0\]
Теперь ответ очевиден: $x=2$, $x=-1$, $x=-0,5$.
Помните: «неудачные» строки — это нормально. Их бывает много. Главное при переборе корней — игнорировать такие строки и заполнять таблицу так, будто этих строк не существует.
Теорема Безу и следствия из неё позволяет значительно сузить круг потенциальных корней.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена
\[P\left( x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}\]
на двучлен $x-a$ равен $P\left( a \right)$.
Несложно заметить, что схема Горнера и следующая из неё запись многочлена
\[P\left( x \right)=\left( {{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}} \right)\left( x-\color{red}{a} \right)+r\]
является прямым доказательством этой теоремы. Действительно, если подставить в эту запись значение $x=\color{red}{a}$, мы получим
\[P\left( \color{red}{a} \right)=\left( {{b}_{n-1}}\color{red}{{a}^{n-1}}+\ldots +{{b}_{1}}\color{red}{a}+{{b}_{0}} \right)\left( \color{red}{a}-\color{red}{a} \right)+r=r\]
У теоремы Безу огромное количество полезных приложений — см. урок «Теорема Безу». Сейчас же нас интересует не сама теорема, а следствие из неё, связанное с корнями многочлена.
Пусть $x=\color{red}{a}$ — корень многочлена $P\left( x \right)$. Распишем многочлен по схеме Горнера для $x=\color{red}{a}$:
\[P\left( x \right)=\left( {{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}} \right)\left( x-\color{red}{a} \right)\]
Поскольку $x=\color{red}{a}$ — корень, остаток $r=0$, и мы получили разложение многочлена $P\left( x \right)$ на множители. А теперь выполним обратную операцию — раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\[P\left( x \right)={{b}_{n-1}}{{x}^{n}}+\ldots -\color{red}{a}\cdot {{b}_{0}}\]
Получается, что корень $x=\color{red}{a}$ является делителем свободного члена $P\left( x \right)$. Более того, можно показать, что в многочлене
\[P\left( x \right)= \color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+\color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +\color{blue}{{a}_{1}}x+\color{blue}{{a}_{0}}\]
с целыми коэффициентами $\color{blue}{{a}_{n}}$, ..., $\color{blue}{{a}_{0}}$ все рациональные корни имеют вид
\[x=\frac{m}{n}\]
где $m\in \mathbb{Z}$ — делитель свободного члена $\color{blue}{{a}_{0}}$, а $n\in \mathbb{N}$ — делитель старшего коэффициента $\color{blue}{{a}_{n}}$.
И хоть при первом взгляде на все эти рассуждения они могут показаться сложными, на практике теорема Безу значительно упрощает поиск корней. Взгляните на примеры.:)
Решите уравнение:
\[{{x}^{5}}+8{{x}^{4}}+24{{x}^{3}}+35{{x}^{2}}+28x+12=0\]
Решение. Слева от знака равенства стоит многочлен пятой степени. Старший коэффициент многочлена ${{a}_{5}}=\color{blue}{1}$, свободный член ${{a}_{0}}=\color{blue}{12}$. Если такой многочлен имеет рациональные корни вида
\[x=\frac{m}{n}\]
то $n=1$ — это единственный натуральный делитель для ${{a}_{5}}=\color{blue}{1}$. А вот число $m$ будем искать среди делителей числа ${{a}_{0}}=\color{blue}{12}$:
\[m=\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 12.\]
Итого 12 вариантов. Далее заметим, что все коэффициенты исходного многочлена положительны, поэтому достаточно проверить лишь отрицательные корни. Начнём с $x=\color{red}{-1}$, затем $x=\color{red}{-2}$, $x=\color{red}{-3}$ и т.д.:
\[\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{8} & \color{blue}{24} & \color{blue}{35} & \color{blue}{28} & \color{blue}{12} \\ \hline \color{red}{-1} & 1 & 7 & 17 & 18 & 10 & \color{red}{2} \\ \hline \color{red}{-2} & 1 & 6 & 12 & 11 & 6 & \color{green}{0} \\ \hline \color{red}{-3} & 1 & 3 & 3 & 2 & \color{green}{0} & {} \\ \end{array}\]
Как видим, вариант $x=\color{red}{-1}$ не подошёл, поэму строку с проверкой этого числа можно вычеркнуть. Зато $x=\color{red}{-2}$ и $x=\color{red}{-3}$ — корни. Более того: можно повторно проверить $x=\color{red}{-2}$. Получим интересный результат:
\[\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{8} & \color{blue}{24} & \color{blue}{35} & \color{blue}{28} & \color{blue}{12} \\ \hline \color{red}{-2} & 1 & 6 & 12 & 11 & 6 & \color{green}{0} \\ \hline \color{red}{-3} & 1 & 3 & 3 & 2 & \color{green}{0} & {} \\ \hline \color{red}{-2} & 1 & 1 & 1 & \color{green}{0} & {} & {} \\ \end{array}\]
Другими словами, исходное уравнение можно переписать так:
\[\left( {{x}^{2}}+x+1 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)=0\]
Число $x=\color{red}{-2}$ оказалось корнем второй кратности, а квадратное уравнение
\[{{x}^{2}}+x+1=0\]
не имеет корней. Поэтому окончательный ответ: $x=-2$, $x=-3$.
Решите уравнение:
\[3{{x}^{4}}+5{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-5x-2=0\]
Решение. По теореме Безу получаем, что рациональные корни вида
\[x=\frac{m}{n}\]
должны быть составлены из чисел $m\in \left\{ \pm 1,\ \pm 2 \right\}$ и $n\in \left\{ 1,3 \right\}$. Всего существует восемь таких комбинаций:
\[x\in \left\{ \pm 1;\ \pm 2;\ \pm \frac{1}{3};\ \pm \frac{2}{3} \right\}\]
Рассмотрим самые простые корни: $x=\color{red}{1}$ и $x=\color{red}{-1}$. Причём на каждом шаге будем проверять возможную кратность:
\[\begin{array}{r|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{3} & \color{blue}{5} & \color{blue}{-1} & \color{blue}{-5} & \color{blue}{-2} \\ \hline \color{red}{1} & 3 & 8 & 7 & 2 & \color{green}{0} \\ \hline \color{red}{1} & 3 & 11 & 18 & \color{red}{20} & {} \\ \hline \color{red}{-1} & 3 & 5 & 2 & \color{green}{0} & {} \\ \hline \color{red}{-1} & 3 & 2 & \color{green}{0} & {} & {} \\ \end{array}\]
Получили корень $x=\color{red}{1}$ (первой кратности) и $x=\color{red}{-1}$ (как минимум второй кратности), а само уравнение можно переписать так:
\[\left( 3x+2 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-1 \right)=0\]
Теперь очевидно, что всего уравнение имеет три корня: $x=1$, $x=-1$ и $x=-{2}/{3}\;$.
Как видим, схема Горнера позволяет не просто перебирать корни, но и определять их кратность. Это особенно важно при решении неравенств и задач с параметрами.
Чтобы определить кратность корня $x=\color{red}{a}$, достаточно подставлять его в таблицу до тех пор, пока не появится остаток, отличный от нуля. Либо пока исходный многочлен не будет полностью разложен на множители.
Решите уравнение и определите кратность корней:
\[{{x}^{5}}-10{{x}^{3}}-20{{x}^{2}}-15x-4=0\]
Решение. Слева стоит многочлен с целыми коэффициентами. Выпишем потенциальные корни по теореме Безу:
\[x\in \left\{ \pm 1;\ \pm 2;\ \pm 4 \right\}\]
Начнём с самых простых чисел: $x=\color{red}{1}$ и $x=\color{red}{-1}$. Проверим их по схеме Горнера:
\[\begin{array}{r|c|r|r|r|r|r} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{0} & \color{blue}{-10} & \color{blue}{-20} & \color{blue}{-15} & \color{blue}{-4} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & 1 & -9 & -29 & -44 & \color{red}{-48} \\ \hline\color{red}{-1} & 1 & -1 & -9 & -11 & -4 & \color{green}{0} \\ \hline\color{red}{-1} & 1 & -2 & -7 & -4 & \color{green}{0} & {} \\ \hline\color{red}{-1} & 1 & -3 & -4 & \color{green}{0} & {} & {} \\ \hline\color{red}{-1} & 1 & -4 & \color{green}{0} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Перепишем исходное уравнение:
\[{{\left( x+1 \right)}^{4}}\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)=0\]
Итого уравнение имеет три различных корня: $x=-1$ (четвёртой кратности), $x=1$ (первой кратности) и $x=4$ (тоже первой кратности).
Ключевая мысль: с помощью схемы Горнера можно решать даже уравнения высших степеней. Поэтому если при решении текстовой задачи (и особенно задачи с параметром) возникло уравнение 3-й степени и выше, это вовсе не означает, что вы где-то ошиблись. Вполне возможно, что составители задачи хотят проверить, умеете ли вы решать уравнения высших степеней.
Схему Горнера часто применяют для разложения многочлена на множители. Мы знаем, что для всякого $x=\color{red}{a}$ такого, что последний элемент таблицы $r=\color{green}{0}$, можно переписать исходный многочлен $P\left( x \right)$ в виде
\[P\left( x \right)=\left( x-\color{red}{a} \right)\cdot Q\left( x \right)\]
Коэффициенты многочлена $Q\left( x \right)$ будут также даны в таблице, и к нему тоже применима схема Горнера.
Разложите на множители многочлен
\[{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+3x-10\]
Решение. Рассмотрим многочлен
\[P\left( x \right)= \color{blue}{1}\cdot {{x}^{4}}+\color{blue}{2}\cdot {{x}^{3}}+\color{blue}{4}\cdot {{x}^{2}}+\color{blue}{3}\cdot x+\left( \color{blue}{-10} \right)\]
Будем выделять из него двучлены вида $\left( x-\color{red}{a} \right)$, где $x=\color{red}{a}$ — корни многочлена $P\left( x \right)$. Рассмотрим в качестве таких корней делители свободного члена ${{a}_{0}}=\color{blue}{-10}$. Начнём с $x=\color{red}{1}$ и $x=\color{red}{-1}$:
\[\begin{array}{r|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & \color{blue}{4} & \color{blue}{3} & \color{blue}{-10} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & 3 & 7 & 10 & \color{green}{0} \\ \hline\color{red}{-1} & 1 & 2 & 5 & \color{red}{5} & {} \\ \hline\color{red}{-2} & 1 & 1 & 5 & \color{green}{0} & {} \\ \end{array}\]
Итого одна неудачная попытка и две удачных. Получили разложение многочлена
\[P\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+x+5 \right)\]
Квадратный трёхчлен в третьей скобке всегда положителен:
\[{{x}^{2}}+x+5 \gt 0\]
Его нельзя разложить на множители, поэтому указанное разложение $P\left( x \right)$ — окончательное.
Разложите на множители многочлен
\[{{x}^{5}}-6{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+36{{x}^{2}}-27x-54\]
Решение. Рассмотрим многочлен
\[P\left( x \right)= \color{blue}{1}\cdot {{x}^{5}}+\left( \color{blue}{-6} \right)\cdot {{x}^{4}}+\color{blue}{2}\cdot {{x}^{3}}+\color{blue}{36}\cdot {{x}^{2}}+\left( \color{blue}{-27} \right)\cdot x+\left( \color{blue}{-54} \right)\]
\[\begin{align}P\left( x \right)= \color{blue}{1}\cdot {{x}^{5}} &+\left( \color{blue}{-6} \right)\cdot {{x}^{4}}+\color{blue}{2}\cdot {{x}^{3}}+ \\ &+\color{blue}{36}\cdot {{x}^{2}}+\left( \color{blue}{-27} \right) \cdot x+\left( \color{blue}{-54} \right) \\ \end{align}\]
Проверим делители свободного члена ${{a}_{0}}=\color{blue}{-54}$. Таких делителей очень много, поэтому начнём с самых простых: $x=\color{red}{1}$ и $x=\color{red}{-1}$:
\[\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{-6} & \color{blue}{2} & \color{blue}{36} & \color{blue}{-27} & \color{blue}{-54} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & -5 & -3 & 33 & 6 & \color{red}{-48} \\ \hline\color{red}{-1} & 1 & -7 & 9 & 27 & -54 & \color{green}{0} \\ \hline\color{red}{-1} & 1 & -8 & 17 & 10 & \color{red}{-64} & {} \\ \hline\color{red}{2} & 1 & -5 & -1 & 25 & \color{red}{-4} & {} \\ \hline\color{red}{-2} & 1 & -9 & 27 & -27 & \color{green}{0} & {} \\ \hline\color{red}{3} & 1 & -6 & 9 & \color{green}{0} & {} & {} \\ \hline\color{red}{3} & 1 & -3 & \color{green}{0} & {} & {} & {} \\ \hline\color{red}{3} & 1 & \color{green}{0} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Получили три неудачных попытки и пять удачных. В целом многочлен привет вид
\[P\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right){{\left( x-3 \right)}^{3}}\]
Это и есть искомое разложение на множители.
Обратите внимание: после проверки корня $x=\color{red}{-2}$ в таблице возникла формула сокращённого умножения — куб разности:
\[{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+27x-27={{\left( x-3 \right)}^{3}}\]
С этим замечанием дальше можно было вообще не заполнять таблицу, поскольку многочлен сразу примет вид
\[P\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right){{\left( x-3 \right)}^{3}}\]
Наконец, ещё одно применение схемы Горнера — это разложение многочлена по степеням двучлена $\left( x-\color{red}{a} \right)$. Для этого достаточно составлять таблицу с указанным $x=\color{red}{a}$ до тех пор, пока не закончатся столбцы с коэффициентами.
Полученные остатки будут коэффициентами искомого разложения. Взгляните на примеры.
Разложите по степеням $\left( x-1 \right)$ многочлен
\[{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+16{{x}^{2}}-17x-5\]
Решение. Выделим коэффициенты многочлена:
\[P\left( x \right)= \color{blue}{1}\cdot {{x}^{4}}+\left( \color{blue}{-6} \right)\cdot {{x}^{3}}+\color{blue}{16}\cdot {{x}^{2}}+\left( \color{blue}{-17} \right)\cdot x+\left( \color{blue}{-5} \right)\]
\[\begin{align}P\left( x \right)= \color{blue}{1}\cdot {{x}^{4}} &+\left( \color{blue}{-6} \right)\cdot {{x}^{3}}+\color{blue}{16}\cdot {{x}^{2}}+ \\ &+\left( \color{blue}{-17} \right) \cdot x+\left( \color{blue}{-5} \right) \\ \end{align}\]
Занесём эти коэффициенты в таблицу и будем заполнять её по схеме Горнера для $x=\color{red}{1}$ до тех пор, пока не вычеркнем все столбцы:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{-6} & \color{blue}{16} & \color{blue}{-17} & \color{blue}{-5} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & -5 & 11 & -6 & \color{green}{-11} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & -4 & 7 & \color{green}{1} & {} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & -3 & \color{green}{4} & {} & {} \\ \hline\color{red}{1} & 1 & \color{green}{-2} & {} & {} & {} \\ \hline\color{red}{1} & \color{green}{1} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Числа, выделенные зелёным — это остатки от деления в каждой новой строке. Они и будут коэффициентами разложения в порядке возрастания степеней. Внизу таблицы находится старший коэффициент, а в первой строке — свободный член:
\[P\left( x \right)= \color{green}{1}\cdot {{\left( x-1 \right)}^{4}}+\left( \color{green}{-2} \right)\cdot {{\left( x-1 \right)}^{3}}+\color{green}{4}\cdot {{\left( x-1 \right)}^{2}}+\color{green}{1}\cdot \left( x-1 \right)+\left( \color{green}{-11} \right)\]
\[\begin{align}P\left( x \right) &=\color{green}{1}\cdot {{\left( x-1 \right)}^{4}}+\left( \color{green}{-2} \right)\cdot {{\left( x-1 \right)}^{3}}+ \\ &+\color{green}{4}\cdot {{\left( x-1 \right)}^{2}}+\color{green}{1}\cdot \left( x-1 \right)+\left( \color{green}{-11} \right) \\ \end{align}\]
Представим эту запись более компактно:
\[P\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{4}}-2{{\left( x-1 \right)}^{3}}+4{{\left( x-1 \right)}^{2}}+\left( x-1 \right)-11\]
\[\begin{align}P\left( x \right) &={{\left( x-1 \right)}^{4}}-2{{\left( x-1 \right)}^{3}}+ \\ &+4{{\left( x-1 \right)}^{2}}+\left( x-1 \right)-11 \\ \end{align}\]
Это и есть искомое разложение.
Разложите по степеням $\left( x-2 \right)$ многочлен
\[{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}-50x+48\]
Решение. В раз не будем переписывать многочлен с выделением коэффициентов, а сразу составим таблицу:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{1} & \color{blue}{-8} & \color{blue}{24} & \color{blue}{-50} & \color{blue}{48} \\ \hline\color{red}{2} & 1 & -6 & 12 & -26 & \color{green}{-4} \\ \hline\color{red}{2} & 1 & -4 & 4 & \color{green}{-18} & {} \\ \hline\color{red}{2} & 1 & -2 & \color{green}{0} & {} & {} \\ \hline\color{red}{2} & 1 & \color{green}{0} & {} & {} & {} \\ \hline\color{red}{2} & \color{green}{1} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
Запишем найденное разложение в порядке убывания степеней:
\[\color{green}{1}\cdot {{\left( x-2 \right)}^{4}}+\color{green}{0}\cdot {{\left( x-2 \right)}^{3}}+\color{green}{0}\cdot {{\left( x-2 \right)}^{2}}+\left( \color{green}{-18} \right)\cdot \left( x-2 \right)+\left( \color{green}{-4} \right)\]
\[\begin{align}\color{green}{1}\cdot {{\left( x-2 \right)}^{4}}&+\color{green}{0}\cdot {{\left( x-2 \right)}^{3}}+\color{green}{0}\cdot {{\left( x-2 \right)}^{2}}+ \\ &+\left( \color{green}{-18} \right)\cdot \left( x-2 \right)+\left( \color{green}{-4} \right) \\ \end{align}\]
То же самое разложение, но более компактно:
\[{{\left( x-2 \right)}^{4}}-18\left( x-2 \right)-4\]
Это окончательный ответ.
Очень просто. Вернёмся к исходному многочлену:
\[P\left( x \right)= \color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+\color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +\color{blue}{{a}_{1}}x+\color{blue}{{a}_{0}}\]
Вынесем за скобки множитель $x$ из всех слагаемых, кроме последнего:
\[P\left( x \right)=\left( \color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n-1}}+\color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-2}}+\ldots +\color{blue}{{a}_{1}} \right)\cdot x+\color{blue}{{a}_{0}}\]
В скобках стоит новый многочлен. Вновь вынесем за скобки $x$. Сделаем так много раз и в какой-то момент получим запись вида
\[P\left( x \right)=\left( \ldots \left( \left( \color{blue}{{a}_{n}} \right)\cdot x+\color{blue}{{a}_{n-1}} \right)\cdot x+\ldots +\color{blue}{{a}_{1}} \right)\cdot x+\color{blue}{{a}_{0}}\]
Мы видим множество скобок. Обозначим элемент в самой внутренней скобке через ${{b}_{n-1}}$:
\[{{b}_{n-1}}=\color{blue}{{a}_{n}}\]
Элемент в предыдущей скобке обозначим ${{b}_{n-2}}$:
\[{{b}_{n-2}}={{b}_{n-1}} \cdot x+\color{blue}{{a}_{k}}\]
И так далее по уже известной формуле
\[{{b}_{k-1}}={{b}_{k}} \cdot x+\color{blue}{{a}_{k}}\]
В какой-то момент мы находим ${{b}_{0}}$ и $r$:
\[\begin{align} {{b}_{0}} &={{b}_{1}}\cdot x+\color{blue}{{a}_{1}} \\ r &={{b}_{0}}\cdot x+\color{blue}{{a}_{0}} \end{align}\]
Собираем все найденные значения в таблицу:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {} & \color{blue}{{a}_{n}} & \color{blue}{{a}_{n-1}} & \color{blue}{{a}_{n-2}} & \ldots & \color{blue}{{a}_{1}} & \color{blue}{{a}_{0}} \\ \hline x & {{b}_{n-1}} & {{b}_{n-2}} & {{b}_{n-3}} & \ldots & {{b}_{0}} & r \\ \end{array}\]
Легко показать, что $r=P\left( x \right)$. Кроме того, согласно теореме Безу, при подстановке $x=\color{red}{a}$ найденное число $r=P\left( \color{red}{a} \right)$ есть остаток от деления многочлена $P\left( x \right)$ на двучлен $x-\color{red}{a}$:
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot \left( x-\color{red}{a} \right)+r\]
В частности, при $r=0$ деление выполнено без остатка, поэтому многочлен $P\left( x \right)$ раскладывается на множители:
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot \left( x-\color{red}{a} \right)\]
Далее по индукции или прямым вычислением можно показать, что коэффициенты $Q\left( x \right)$ — это те самые числа ${{b}_{n-1}}$, ..., ${{b}_{0}}$ из таблицы. Поскольку $\deg Q\left( x \right)=n-1$, на каждом шаге степень этого многочлена будет уменьшаться.
В какой-то момент окажется, что $Q\left( x \right)= \color{blue}{{a}_{n}}$ — константа, и дальнейшее заполнение таблицы по схеме Горнера невозможно. Вот и всё.:)
