Вся стереометрия 10—11 классов построена на пяти (иногда — семи) аксиомах, из которых основными являются лишь три. В этом уроке мы разберём все семь аксиом и решим много полезных задач.
В учебниках разных авторов эти аксиомы идут в разной последовательности. Так, Атанасян даёт аксиомы 3—5; Мерзляк — аксиомы 1—6; Потоскуев / Звавич — все 7 аксиом.
Обратите внимание: у этих аксиом есть следствия. Это три теоремы, которые значительно расширяют наши возможности для решения задач. Им посвящён отдельный урок — см. «Следствия из аксиом стереометрии».
1. Аксиома планиметрии
Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Другими словами, в стереометрии можно пользоваться всеми свойствами плоских фигур, которые мы изучали в планиметрии. Более того: переход к планиметрии — это основной приём для решения множества стереометрических задач.
Для того, чтобы использовать теоремы из планиметрии, достаточно определить плоскость, в которой мы работаем. И убедиться, что интересующие нас объекты (прямые, треугольники, окружности и т.д.) лежат в этой плоскости.
Для обозначения принадлежности мы часто будем использовать знак $\in $ из теории множеств. Допустим, прямая $l$ и точка $M$ лежат на плоскости $\alpha $:
Мы будем обозначать это так: $M\in \alpha $ и $l\in \alpha $.
2. Аксиома точек вне плоскости
Аксиома 2. Для любой плоскости пространства найдутся точки, которые лежат в этой плоскости, и точки, которые лежат вне её.
Из этой аксиомы следует, что всё пространство не исчерпывается одной плоскостью. Есть другие плоскости, на каждой из которых можно отметить бесконечное множество точек.
На чертеже мы видим, что точка $A\in \alpha $, точка $\color{red}{B}\notin \alpha $.
3. Аксиома плоскости (основная)
Аксиома 3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Другими словами, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость:
На рисунке точки $A$, $B$ и $C$ лежат на плоскости $\alpha $. Поскольку эти точки не лежат на одной прямой, они однозначно задают эту плоскость. Обычно её так и обозначают: плоскость $ABC$.
Простой пример из жизни — стул на трёх ножках. Такого количества опор достаточно, чтобы он не качался и не падал. Плоскость стула задаётся однозначно благодаря всего трём точкам опоры.
Мы будем постоянно использовать эту аксиому для доказательства и решения задач. Ведь если удастся задать плоскость, то мы сведём трёхмерную задачу к двухмерной. А это радикально упрощает рассуждения.
4. Аксиома прямой и плоскости (основная)
Аксиома 4. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся эта прямая принадлежит этой плоскости.
Это интуитивно понятное утверждение, но его нельзя вывести из предыдущих аксиом.
Итак, есть прямая, две точки которой лежат на плоскости:
Следовательно, вся прямая лежит на этой плоскости:
Записывается это так: если точки $\color{red}{A}\in \alpha $ и $\color{red}{B}\in \alpha $, то прямая $l\in \alpha $. Хотя в некоторых учебниках с более строгим изложением предлагают писать $l\subset \alpha $, где знак $\subset $ означает «включение». При этом говорят, что прямая $l$ является подмножеством плоскости $\alpha $.
В этом уроке мы не будем давать строгие теоретико-множественные определения. Потому что сейчас наша цель — максимальная наглядность, а не научная красота. Кому интересно, см. учебник «Геометрия 10» Потоскуева и Звавича.
Вообще существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
Прямая принадлежит плоскости — как раз этот вариант описывает аксиома.
Прямая параллельна плоскости, т.е. не имеет с ней общих точек.
Прямая пересекает плоскость, т.е. имеет с ней ровно в одну общую точку.
Простой пример: на столе, выполняющем роль плоскости $\alpha $, стоит кирпич $ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$.
Прямая $\color{red}{AB}$ лежит в плоскости $\alpha $. Прямая $\color{red}{B{{B}_{1}}}$ пересекает эту плоскость в точке $\color{red}{B}$ (и тут удобна теоретико-множественная запись $\color{red}{B{{B}_{1}}}\cap \alpha =\color{red}{B}$). Наконец, прямая $\color{red}{{{A}_{1}}{{D}_{1}}}$ параллельна плоскости $\alpha $ (пишут $\color{red}{A{{A}_{1}}}\parallel \alpha $).
5. Аксиома пересечения плоскостей (основная)
Аксиома 5. Если у двух плоскостей есть общая точка, то эти плоскости пересекаются по некоторой прямой.
Плоскости всегда пересекаются только по прямой:
Записывают это так: $\alpha \cap \beta =l$. И если найдётся точка $\color{red}{A}$ такая, что $\color{red}{A}\in \alpha $ и $\color{red}{A}\in \beta $, то гарантированно $\color{red}{A}\in l$.
Сейчас это может показаться рассуждениями Капитана Очевидности, но в первых же задачах на доказательство вы поймёте, насколько полезны эти аксиомы.
Существует два варианта взаимного расположения плоскостей:
Плоскости пересекаются по прямой;
Плоскости параллельны, т.е. не имеют общих точек.
Вернёмся к предыдущему рисунку, где на плоскости $\alpha $ стоит кирпич:
Видим, что плоскость $\color{red}{AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$ пересекает $\alpha $ по прямой $\color{red}{AB}$. А плоскость $\color{red}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$ параллельна $\alpha $.
Существует, конечно, третий вариант, когда плоскости совпадают. Это тривиальный случай, и мы не будем его рассматривать. Поэтому если в задаче фигурируют плоскости, то речь идёт именно о разных плоскостях, которые либо пересекаются, либо параллельны.
Важным следствием из трёх основных аксиом: если фигуры $\color{red}{{{F}_{1}}}$ и $\color{red}{{{F}_{2}}}$, лежащие в разных плоскостях, пересекаются друг с другом, то все их общие точки лежат на одной прямой. Более того: эти точки представляют собой либо отрезок, либо луч, либо отдельные точки, либо всю прямую, либо комбинацию таких объектов:
Фигуры $\color{red}{{{F}_{1}}}\subset \alpha $ и $\color{red}{{{F}_{2}}}\subset \beta $. Их пересечение $\color{red}{{{F}_{1}}}\cap \color{red}{{{F}_{2}}}$ — это отрезок $AB$.
Вот почему, например, сечение грани куба плоскостью всегда даёт либо точку, либо отрезок. Подробнее об этом — см. урок «Сечения многогранников». Это один из важнейших уроков во всём курсе стереометрии.
6. Аксиома расстояния (дополнительная)
Аксиома 6. Расстояние между любыми двумя точками пространство будет одним и тем же для любой плоскости, проходящей через эти точки.
Смысл этой аксиомы в следующем. Из Аксиомы 1 мы знаем, что в любой плоскости выполняются аксиомы планиметрии. Следовательно, для любых двух точек $M$ и $N$ в каждой плоскости, которая проходит через эти точки, можно найти расстояние $\left| MN \right|$.
Однако через точки $M$ и $N$ проходит бесконечно много плоскостей. И в каждой можно найти такое расстояние.
Аксиома 6 утверждает, что все эти расстояния будут равны друг другу. Т.е. расстояние между двумя точками пространства не зависит от выбора плоскости.
На рисунке точки $\color{red}{M}$ и $\color{red}{N}$ принадлежат сразу трём плоскостям: $\alpha $, $\beta $ и $\gamma $. И независимо от выбора плоскости длина отрезка $\color{red}{MN}$ будет одной и той же. Эту длину мы обозначаем $\left| \color{red}{MN} \right|$.
7. Аксиома разбиения (дополнительная)
Аксиома 7. Любая плоскость $\alpha $ разбивает пространство на две части так, что:
Любые две точки, принадлежащие разным частям, разделены плоскостью $\alpha $;
Любые две точки, принадлежащие одной части, не разделены плоскостью $\alpha $.
Интуитивно эта аксиома вполне очевидна. Если две точки лежат по разные стороны от плоскости $\alpha $, то отрезок, соединяющий эти точки, неизбежно пересечёт плоскость $\alpha $. И наоборот: если точки лежат по одну сторону от плоскости $\alpha $, то отрезок, их соединяющий, не пересечёт эту плоскость.
На рисунке мы видим, что отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha $ в точке $M$, поскольку точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от $\alpha $. И наоборот: отрезок $AC$ не пересекает плоскость $\alpha $, поскольку точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от плоскости.
Здесь можно долго рассуждать, что плоскость $\alpha $ делит всё пространство на два полупространства. Что эта плоскость является границей для таких полупространств. Но это уже аналитическая геометрия и топология — сейчас не будем залезать в дебри.
8. Зачем нужны аксиомы
Математику изучают в школе не просто так. Большинство забудет все эти уравнения, графики и аксиомы сразу после ЕГЭ в 11 классе.
Задача школьного курса математики состоит в том, чтобы вы освоили научное мышление. Чтобы поняли, как работает наука, как проверяются гипотезы и как доказываются утверждения. И чем отличается частный жизненный опыт от универсальных знаний.
Подробнее о том, чем научное знание отличается от обывательского (и почему это так важно), смотрите в цикле уроков «Как работает наука».
Однако в любой науке есть «стартовый» набор утверждений, которые принимаются без доказательств. Эти утверждения и есть аксиомы. Обычно они наглядны и «очевидны» даже для начинающих.
Простой пример «очевидного» утверждения. Биссектриса треугольника пересекает его противоположную сторону:
Спасибо, Капитан Очевидность. Однако напрямую этот факт ниоткуда не следует. Его можно доказать, например, через тригонометрию или координаты. Но потребовать такое доказательство — отличная задача-гроб на устном экзамене в университет.
Создание системы аксиом — долгий и кропотливый процесс. Классическая евклидова геометрия, которую изучают в школе, основана на аксиомах, которые формировались более двух тысяч лет. Основоположник этих аксиом — Евклид — жил в III веке до н.д. Собственно, потому геометрия и называется евклидовой.
Зато когда система аксиом построена, все последующие теоремы выводятся из неё через логические рассуждения. Без привлечения наглядных иллюстраций и «очевидных соображений». Вот здесь и начинается настоящая наука.:)
9. Решение задач
Аксиомы стереометрии часто применяются в доказательствах. И ещё в задачах с открытыми вопросами. Вот пример такой задачи:
Задача 1. Окружность и плоскость
Центр окружности $O$ и точки $M$ и $N$ на этой окружности принадлежат плоскости $\alpha $. Все ли точки этой окружности принадлежат плоскости $\alpha $?
Решение. Легко заметить, что ответ зависит от взаимного расположения точек $M$, $N$ и $O$.
Допустим, что все они лежат на одной прямой. Тогда $MN$ — диаметр, и вся окружность может как лежать в плоскости $\alpha $, так и не лежать в ней. Вот пример когда окружность не лежит в плоскости:
Пусть теперь точки $M$, $N$ и $O$ не лежат на одно прямой. По Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке) эти точки однозначно задают плоскость. Эта плоскость совпадает с плоскостью $\alpha $.
А поскольку окружность — плоская фигура, то остальные её точки также принадлежат плоскости $\alpha $:
Задача 2. Неравильный рисунок
Вершина $B$ параллелограмма $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha $. Прямая $AD$ пересекает плоскость $\alpha $ в точке $M$, а прямая $CD$ — в точке $K$. Верно ли выполнен рисунок? Ответ обоснуйте.
Решение. Соединим точки $M$ и $K$ прямой $l$:
Мы видим, что точка $B\notin l$. Поэтому точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой. И согласно Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке), эти точки однозначно задают плоскость.
С одной стороны, мы видим по рисунку, что это плоскость $\alpha $. С другой стороны, параллелограмм — плоская фигура, поэтому точки $M$, $B$, $K$ лежат ещё и в плоскости параллелограмма. А это значит, что плоскости $\alpha $ и $ABCD$ должны совпадать, чего на рисунке не происходит.
Есть и другой способ показать, что рисунок некорректен. По условию задачи, точки $M$, $B$, $K$ являются общими для плоскости $\alpha $ и плоскости $ABCD$. Согласно Аксиоме пересечения плоскостей (Аксиома 5 в нашем списке), все эти точки должны лежать на одной прямой.
Однако простое построение показывает, что точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой, что противоречит аксиоме. Такое противоречие как раз и доказывает некорректность чертежа.
Далее мы будем лишь называть аксиомы — без нумерации.
Задача 3. Прямые на плоскости
Лежат ли в одной плоскости прямые $a$, $b$ и $c$, если любые две из них пересекаются, но не существует точки, принадлежащей всем трём прямым? Сделайте рисунок и обоснуйте ответ.
Решение. Нарисуем прямые $a$, $b$, $c$ и обозначим их точки пересечения $M$, $N$, $K$:
Точки $M$, $N$, $K$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости, эти три точки однозначно определяют некоторую плоскость $\alpha $.
Далее заметим, например, что точки $M\in \alpha $ и $N\in \alpha $ по построению. По основной Аксиоме прямой и плоскости вся прямая $MN=b$ лежит в этой плоскости, т.е. $b\subset \alpha $.
Аналогично доказывается, что прямые $a\subset \alpha $ и $b\subset \alpha $.
Задача 4. Пересечение плоскостей
На рисунке плоскости $\alpha $ и $\beta $ пересекаются по прямой $l$. Точки $A\in \alpha $ и $B\in \alpha $, точка $C\in \beta $. Постройте линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha $ и с плоскостью $\beta $.
Решение. Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости $\alpha $ и $\beta $, буквой $l$:
\[\alpha \cap \beta =l\]
Дополнительное построение: прямая $AB$, которая пересекает прямую $l$ в точке $M$:
Точки $A\in \alpha $, $B\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $AB\subset \alpha $ — искомая линия сечения плоскости $\alpha $ и $ABC$.
Далее заметим, что точка $M\in l\subset \beta $. Дополнительное построение: прямая $CM$:
Точки $C\subset \beta $, $M\subset \beta $. И вновь по основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $CM$ — искомая линия сечения плоскости $\beta $ и $ABC$.
Хочу отметить, что задачи на построение — это отдельный класс задач. Как в планиметрии, так и в стереометрии. Там много интересных моментов, им посвящены отдельные уроки. А то, что мы сделали сейчас — это совсем уж простые рассуждения, которые тем не менее опираются на всю мощь аксиом.
Задача 5. Стандартное доказательство
Докажите, что если две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат плоскости $\alpha $, то и две другие вершины тоже принадлежат плоскости $\alpha $.
Решение. Это классическая задача на доказательство, которую в разных формулировках предлагают во всех учебниках по стереометрии.
Обозначим параллелограмм $ABCD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.
Поскольку точка $O\notin AB$, точки $A$, $B$, $O$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости эти три точки однозначно определяют плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $.
Точки $A\in \alpha $, $O\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости, прямая $AO\subset \alpha $. Но точка $C\in AO\subset \alpha $. Следовательно, вершина параллелограмма $C\in \alpha $. Аналогично через точки $B$ и $O$ доказывается, что вершина $D\in \alpha $.
Замечание по поводу задач
Как видите, мы рассмотрели лишь самые простые задачи. Но даже на их примере видно, насколько важно чётко знать систему аксиом.
Бесчисленное множество контрольных и экзаменов были завалены просто потому, что ученик не смог обосновать простые и наглядные рассуждения. Потому что, например, не знал: можно ли утверждать, что если две точки прямой лежат на плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.
В общем, учите аксиомы и практикуйтесь на простых примерах. А для более интересных задач нам потребуются некоторые следствия из этих аксиом. Чему и посвящён следующий урок.:)
