Сегодня мы познакомимся с линейными уравнениями. Узнаем, как их решать. Разберём и простые примеры, и довольно хитрые. Это один из важнейших уроков в курсе алгебры 7 класса.
Содержание
Уравнение — это любое равенство, в котором присутствует хотя бы одна переменная.
Примеры равенств и уравнений.
- Равенство $5-3=2$ — это не уравнение. Да, оно верное, но в нём нет переменной.
- Равенство $5+3=2$ — тоже не уравнение. Оно ещё и само по себе неверное.
- А вот равенство $5-x=2$ или $5+3x=2$ — это уравнения. В них есть переменная $x$.
Мы знаем, что равенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Чтобы проверить это, достаточно вычислить выражение, стоящее с каждой стороны от знака «равно» и сравнить полученные значения: если числа слева и справа одинаковые, то равенство верно. А если числа получились разные — равенство неверное.
С уравнениями всё сложнее. Их нельзя просто взять и вычислить, потому что мы не знаем, какое значение принимает переменная. Но если вместо переменной подставить какое-либо число, то уравнение превращается в обычное равенство — и дальше всё легко.
Пример 1. Рассмотрим уравнение: $x+5=8$.
Если подставить $x=10$, получим равенство $10+5=8$, которое, очевидно, не верно.
Но если $x=3$, то получится $3+5=8$ — это верное равенство.
Итак, есть значения переменных, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. А есть значения, при которых равенство получается неверным. Это позволяет ввести понятие корня уравнения.
Определение. Корень уравнения — это такое значение переменной, при подстановке которого это уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни, либо доказать, что таких корней нет.
Существует бесчисленное множество разных уравнений. Одни решаются легко, другие вообще не решаются.
Умение решать такие уравнения — это сложный и очень ценный навык. И сегодня мы начнём осваивать этот навык. Для этого рассмотрим самый простой вид уравнений — линейные.
Определение. Линейным уравнением называется уравнение вида $ax+b=0$, где $a$ и $b$ — числа, $x$ — переменная.
Также линейными называют все уравнения, которые сводятся к виду $ax+b=0$ путём элементарных преобразований. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2. Линейные уравнения:
\[\begin{align}x+5 &=18 \\ 2x &=8 \\ 7-\left( x-3 \right) &=x-6 \end{align}\]
А вот эти уравнения не являются линейными:
\[\begin{align}{{x}^{2}} &=0 \\ \frac{5}{x} &=1 \\ \left| x \right| &=64 \end{align}\]
Ещё раз: линейные уравнения могут выглядеть очень по-разному. Но все они сводятся к виду $ax+b=0$ с помощью элементарных преобразований. По таким преобразованиям у нас будет отдельный урок, а сейчас просто вспомним, что это такое.
Существует ровно три вида преобразований, которые называются элементарными:
Замечательное свойство всех этих преобразований состоит в том, что они не меняют корни уравнения. Но при этом зачастую позволяют получить уравнение, разрешённое относительно переменной, т.е. уравнение вида $x=a$, где $a$ — некоторое числовое выражение, которое уже не содержит переменную $x$.
Пример 3. Решите уравнение: $x+5=18$.
Вычтем из обеих частей пятёрку:
\[\begin{align}x+5-5 &=18-5 \\ x &=13 \end{align}\]
Получили $x=13$ — это и есть корень.
Иногда переход от уравнения $x+5=18$ к уравнению $x=18-5$ называют «переносом слагаемого их левой части в правую». Мы тоже будем так говорить. Но помните: во «взрослой» алгебре (а именно такой мы будем заниматься с 7 по 11 класс) никаких «переносов» нет. Есть только прибавление слагаемых (пускай и противоположных к исходным).
Итак, у нас есть уравнение $ax+b=0$. Первое, что хочется сделать — это перенести слагаемое $b$ вправо, а затем разделить всё на $a$:
\[\begin{align}ax+b &=0 \\ ax &=-b \\ x &=-\frac{b}{a} \end{align}\]
С первым шагом проблем возникнуть не должно: мы вправе прибавлять к обеим частям уравнения любое выражение, в т.ч. $-b$:
\[\begin{align}ax+b-b &=0-b \\ ax &=-b\end{align}\]
А вот дальше начинаются проблемы. Если коэффициент $a\ne 0$, то снова никаких проблем: мы вправе поделить обе части уравнения на любое ненулевое выражение, в т.ч. на это самое $a\ne 0$:
\[\begin{align}ax &=-b \\ \frac{ax}{a} &=-\frac{b}{a} \\ x &=-\frac{b}{a} \end{align}\]
Большинство уравнений действительно так и решаются. Взгляните на примеры:
Пример 4. Решите уравнение: $5x=10$.
Просто делим обе части уравнения на 5:
\[\begin{align}5x &=10 \\ x &=2 \end{align}\]
Получили $x=2$ — это и есть искомый корень.
Пример 5. Решите уравнение: $-8x=48$.
Всё то же самое, просто делим на отрицательное число:
\[\begin{align}\frac{-8x}{-8} &=\frac{48}{-8} \\ x &=-6 \end{align}\]
Корень уравнения: $x=-6$. То, что он отрицательный, нисколько не должно нас смущать.
Но что делать вот с такими уравнениями?
\[0\cdot x=10;\quad 0\cdot x=0\]
В первом случае корней вообще нет. Потому что при любом значении $x$ мы умножаем это значение на ноль и получаем ноль, который никак не может равняться 10.
Во втором уравнении корнем наоборот будут все числа. Потому что опять же любое число при умножении на ноль даст ноль — и именно этот ноль от нас и требуется.
Итого мы получаем три варианта развития событий. Пусть дано уравнение $ax+b=0$. Тогда:
Вот так всё просто. Однако я не хочу, чтобы вы просто зазубрили эти три пункта и бездумно применяли их, когда видите линейное уравнение. Пожалуйста, помните, как и почему возникают эти правила, что такое элементарные преобразования и какие ограничения в них присутствуют (на самом деле ограничение лишь одно: нельзя умножать и делить на ноль).
Пример 6. Решите уравнение: $7x-2=6+3x$.
Вычитаем из обеих частей $3x$ и добавляем 2:
\[\begin{align}7x-2 &=6+3x|-3x+2 \\ 4x &=8 \end{align}\]
Делим обе части уравнения на 4:
\[\begin{align}4x &=8|:4 \\ x &=2 \end{align}\]
Получили корень уравнения $x=2$.
Пример 7. Решите уравнение: $x-11=x+5$.
Вычитаем из обеих частей $x$ и добавляем 11:
\[\begin{align}x-11 &=x+5|-x+11 \\ 0 &=16 \end{align}\]
Последнее равенство уже не является уравнением. Точнее, является, но это будет уравнение вида $0\cdot x=16$. Коэффициент $a=0$, коэффициент $b=16\ne 0$. Следовательно, корней нет.
При решении настоящих уравнений вовсе не обязательно детально комментировать каждый шаг. Достаточно поставить вертикальную черту справа от уравнения и арифметическими знаками пояснить, что именно вы собираетесь делать.
А в будущем и этих пояснений от вас уже не потребуется.
В начале урока мы обнаружили, что далеко не все уравнения сводятся к линейным с помощью элементарных преобразований. Существует множество способов преобразовать уравнение, но нам пока доступны лишь три элементарных преобразования и ещё вот такая хитрость:
Теорема. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Другими словами, если $a\cdot b=0$, то обязательно либо $a=0$, либо $b=0$.
А это уже интересный приём, который значительно расширяет наши возможности!
Пример 8. Решите уравнение: $\left( 2x-6 \right)\left( x+1 \right)=0$.
Произведение равно нулю, поэтому либо $2x-6=0$, либо $x+1=0$. Получили два линейных уравнения. Решим первое из них:
\[\begin{align}2x-6 &=0 \\ 2x &=6 \\ x &=3 \end{align}\]
Теперь решим второе. Тут вообще всё просто:
\[\begin{align}x+1 &=0 \\ x &=-1 \end{align}\]
Итого уравнение имеет два различных корня: $x=3$ и $x=-1$.
Пример 9. Решите уравнение: $x\left( 5x+15 \right)=0$.
Всё то же самое: произведение равно нулю, поэтому либо $x=0$, либо $5x+15=0$. Первое уравнение уже решено, а второе решается по стандартному алгоритму:
\[\begin{align}5x+15 &=0 \\ 5x &=-15 \\ x &=-3 \end{align}\]
Итого вновь два корня: $x=0$ и $x=-3$.
Разумеется, множителей может быть не два, а три и более. Алгоритм решения от этого никак не меняется: приравнять каждый множитель к нулю и решить каждое полученное уравнение отдельно.
Решите уравнение:
\[6x+72=0\]
Решение. Это линейное уравнение решается через элементарные преобразования:
\[\begin{align}6x+72 &=0 \\ 6x &=-72 \\ x &=-\frac{72}{6} \\ x &=-12 \end{align}\]
Ответ: $x=-12$. Уравнение имеет один корень.
Решите уравнение:
\[5\left( x+9 \right)=5x+45\]
Решение. Сначала раскроем скобки.
Это действие не является элементарным преобразованием уравнений. Оно вообще не относится к уравнениям — оно относился к выражениям с переменной (точнее, как мы позже узнаем, к многочленам):
\[5x+45=5x+45\]
Теперь собираем все слагаемые с переменной $x$ слева, а все числовые слагаемые — справа:
\[\begin{align}5x+45 &=5x+45 \\ 5x-5x &=45-45 \\ 0\cdot x &=0 \end{align}\]
Ответ: все числа. Это уравнение имеет бесконечное множество корней.
Решите уравнение:
\[\left( 6-x \right)+\left( 12+x \right)-\left( 3-2x \right)=15\]
Решение. Вновь сначала раскроем все скобки и упростим полученное выражение:
\[\begin{align}\left( 6-x \right)+\left( 12+x \right)-\left( 3-2x \right) &=15 \\ 6-x+12+x-3+2x &=15 \\ 2x+15 &=15 \end{align}\]
Дальше остаётся лишь выполнить элементарные преобразования:
\[\begin{align}2x &=15-15 \\ 2x &=0 \\ x &=0 \end{align}\]
Ответ: $x=0$. Уравнение имеет единственный корень.
Линейное уравнение вида $ax+b=0$ требует особого внимания при $a=0$. Потому что делить на ноль нельзя.
Однако если $a\ne 0$, но зато $b=0$, то ничего страшного и «нестандартного» не происходит. Получается уравнение $ax=0$, корнем которого является $x=0$.
