Задача 98 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{5-x}}$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y=\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{5-x}}$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций и производной произведения:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( \left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{5-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right)}^{\prime }}{{e}^{5-x}}+\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{\left( {{e}^{5-x}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=\left( 2x-10 \right){{e}^{5-x}}-\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{5-x}} \\ & {{y}^{'}}=-\left( {{x}^{2}}-12x+20 \right){{e}^{5-x}} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\left( {{x}^{2}}-12x+20 \right){{e}^{5-x}}=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{5-x}}\ne 0$, значит:

\[\begin{align}& -\left( {{x}^{2}}-12x+20 \right)=0 \\ & -{{x}^{2}}+12x-20=0 \\ & D=144-4\cdot \left( -1 \right)\left( -20 \right)=144-80=64 \\ & \sqrt{D}=8 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{-12+8}{-2}=2\\{{x}_{2}}=\frac{-12-8}{-2}=10\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=-\left( x-2 \right)\left( x-10 \right) \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 2 \\ & 2 < x < 10 \\ & x > 10 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < 2$, ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{5-x}}$ убывает на этом промежутке,

при $2 < x < 10$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y=\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{5-x}}$возрастает на этом промежутке

при $x > 10$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{5-x}}$убывает на этом промежутке.

Точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$. Поэтому точкой максимума функции $y=\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{5-x}}$является точка $x=10$.

Правильный ответ

$x=10$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Как применять метод коэффициентов в сложных задачах из ЕГЭ по математике?
  6. Задача B4: обмен валют в трех различных банках