Задача 96 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-36}}$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-36}}$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций и производной произведения:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( \left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-36}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right)}^{\prime }}{{e}^{x-36}}+\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{\left( {{e}^{x-36}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=\left( 6x-36 \right){{e}^{x-36}}+\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-36}}=\left( 3{{x}^{2}}-30x \right){{e}^{x-36}} \\ & {{y}^{'}}=3x\left( x-10 \right){{e}^{x-36}} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & 3x\left( x-10 \right){{e}^{x-36}}=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{x-36}}\ne 0$, значит:

\[\left[ \begin{matrix}3x=0\\x-10=0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=0\\{{x}_{2}}=10\\\end{matrix} \right.\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 0 \\ & 0 < x < 10 \\ & x > 10 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < 0$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-36}}$возрастает на этом промежутке,

при $0 < x < 10$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-36}}$ убывает на этом промежутке,

при $x > 10$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-36}}$возрастает на этом промежутке.

Точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$ на $+$. Поэтому точкой минимума функции $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-36}}$является точка $x=10$.

Правильный ответ

$x=10$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант