Задача 88 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=19+192x-{{x}^{3}}$ на отрезке [–8; 8].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 19+192x-{{x}^{3}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-3{{x}^{2}}+192 \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -3{{x}^{2}}+192=0 \\ & -3\left( {{x}^{2}}-64 \right)=0 \\ & -3\left( x-8 \right)\left( x+8 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=8,{{x}_{2}}=-8 \\ \end{align}\]

Выбираем только те значения $x$, которые попадают в заданный отрезок $\left[ -8;8 \right]$. В данном случае это оба найденных значения.

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на границах отрезка.

Заметим, что ${{x}_{1}}=8$ совпадает с правым концом отрезка, а ${{x}_{2}}=-8$ совпадает с левым концом отрезка.

Поэтому, найдем значения функции только в этих двух точках:

\[\begin{align}& y\left( 8 \right)=19+192\cdot 8-{{8}^{3}}=19+1536-512=1043 \\ & y\left( -8 \right)=19-192\cdot 8-{{\left( -8 \right)}^{3}}=19-1536+512=-1005 \\ \end{align}\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наименьшее значение в точке $x=-8$ и это значение равно$-1005$.

Правильный ответ

$-1005$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Задача B4: случай с неизвестным количеством товара
  6. Задача B2 про комиссию в терминале