Задача 69 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=15+12x-{{x}^{3}}$ на отрезке [−2; 2].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё набольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( -{{x}^{3}}+12x+15 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-3{{x}^{2}}+12 \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -3{{x}^{2}}+12=0 \\ & -3\left( {{x}^{2}}-4 \right)=0 \\ & -3\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=2,{{x}_{2}}=-2 \\ \end{align}\]

Выбираем только те значения $x$, которые попадают в заданный отрезок $\left[ -2;2 \right]$. В данном случае это оба найденных значения.

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на границах отрезка.

Заметим, что ${{x}_{1}}=2$ совпадает с правым концом отрезка, а ${{x}_{2}}=-2$ совпадает с левым концом отрезка.

Поэтому, найдем значения функции только в этих двух точках:

\[\begin{align}& y\left( 2 \right)=15+12\left( 2 \right)-{{\left( 2 \right)}^{3}}=31 \\ & y\left( -2 \right)=15-12\cdot 2-{{\left( -2 \right)}^{3}}=-1 \\ \end{align}\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наибольшее значение в точке $x=2$ равное 31.

Правильный ответ

31

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Пример решения задачи 15
  6. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги