Задача 66 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y={{x}^{3}}-27{{x}^{2}}+15$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y={{x}^{3}}-27{{x}^{2}}+15$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{x}^{3}}-27{{x}^{2}}+15 \right)}^{'}} \\ & {y}'=3{{x}^{2}}-54x \\ & {{y}^{'}}=3x\left( x-18 \right) \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & 3x\left( x-18 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=18 \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 0 \\ & 0 < x < 18 \\ & x > 18 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < 0$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $0 < x < 18$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > 18$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит функция $y$ возрастает на этом промежутке.

Точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с – на +, а значит, точкой минимума функции $y={{x}^{3}}-27{{x}^{2}}+15$ является точка $x=18$.

Правильный ответ

$x=18$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
  5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
  6. Задача C1: показательные уравнения с ограничением