Задача 65 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y={{x}^{3}}-24{{x}^{2}}+11$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y={{x}^{3}}-24{{x}^{2}}+11$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'=3{{x}^{2}}-48x \\ & {{y}^{'}}=3x\left( x-16 \right) \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & 3x\left( x-16 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=16 \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 0 \\ & 0 < x < 16 \\ & x > 16 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < 0$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $0 < x < 16$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > 16$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит функция $y$ возрастает на этом промежутке.

Точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с – на +, а значит, точкой минимума функции $y={{x}^{3}}-24{{x}^{2}}+11$является точка $x=16$.

Правильный ответ

$x=16$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. C2: расстояние между двумя прямыми
  6. Тест по задачам B14: средний уровень, 1 вариант