Задача 217 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)+2$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{\log }_{a}}z$+C.

Известно, что данная функция:

возрастает, при $a > 1$,

убывает, при $a < 1$.

Так как $5 > 1$, значит функция $y={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)+2$ — возрастающая функция на всей области определения.

А значит, большему значению аргумента $z=\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому функция $y$ будет иметь минимума в той точке, в которой аргумент $z=\left( {{x}^{2}}+4x+29 \right)$ имеет свой минимума, если она в ней определена. Найдем эту точку.

График функции $z={{x}^{2}}-6x+12$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, т. к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ положительный.

Значит, функция $z={{x}^{2}}-6x+12$ имеет свой минимума в вершине параболы.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}-6x+12$ будет иметь вершину и максимум в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{6}{2\cdot 1}=3\]

Проверим, определена ли функция $y={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)+2$ в найденной точке и вычислим:

\[y\left( 3 \right)={{\log }_{5}}\left( 9-18+12 \right)+2={{\log }_{5}}3+2\]

Определена.

А значит точка минимума функции $y={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)+2$: $x=3$.

Правильный ответ

3

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задача B2: Сложный процент и стандартная формула