Задача 210 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{e}^{4x}}-4{{e}^{x}}+8$ на отрезке [−2; 2].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\left( x-1 \right){{e}^{x}}$ является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции: для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g\]

\[{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}}\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[{{y}^{'}}={{\left( {{e}^{4x}}-4{{e}^{x}}+8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( {{e}^{4x}} \right)}^{'}}-{{\left( 4{{e}^{x}} \right)}^{'}}+{{\left( 8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=4{{e}^{4x}}-4{{e}^{x}}\]

\[{{y}^{'}}=4{{e}^{x}}\left( {{e}^{3x}}-1 \right)\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[{{y}^{'}}=0\]

\[4{{e}^{x}}\left( {{e}^{3x}}-1 \right)=0\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Так как множитель ${{e}^{x}}$ не равен 0 ни при каких значениях $x$, значит, второй множитель должен быть равен нулю:

\[{{e}^{3x}}-1=0\]

\[{{e}^{3x}}=1\]

\[x=0\]

Видим, что $x=0$ попадает в заданный отрезок.

Так как наименьшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[y\left( -2 \right)={{e}^{-8}}-4{{e}^{-2}}+8=8+\frac{1}{{{e}^{8}}}-\frac{4}{{{e}^{2}}}\]

\[y\left( 0 \right)={{e}^{0}}-4{{e}^{0}}+8=1-4+8=5\]

\[y\left( 2 \right)={{e}^{8}}-4{{e}^{2}}+8\]

Поэтому,наименьшим значением функции на заданном отрезке является значение $y=5$, которое функция принимает в точке $x=0$.

Правильный ответ

5

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 2 вариант
  6. Формула простого процента: неизвестно конечное значение