Задача 203 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=\left( x-1 \right){{e}^{x}}$ на отрезке [−1; 1].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\left( x-1 \right){{e}^{x}}$ является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции: для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g\]

\[{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}}\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[{{y}^{'}}={{\left( \left( x-1 \right){{e}^{x}} \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( x-1 \right)}^{'}}{{e}^{x}}+(x-1){{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{e}^{x}}+\left( x-1 \right){{e}^{x}}\]

\[{{y}^{'}}={{e}^{x}}\left( 1+x-1 \right)={{e}^{x}}x\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[{{y}^{'}}=0\]

\[{{e}^{x}}x=0\]

Для того, чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Так как множитель ${{e}^{x}}$ не равен 0 ни при каких значениях $x$, значит, второй множитель должен быть равен нулю:

\[x=0\]

Видим, что $x=0$ попадает в заданный отрезок.

Так как наименьшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[y\left( -1 \right)=\left( -1-1 \right){{e}^{-1}}=-2\frac{1}{e}\]

\[y\left( 1 \right)=\left( 1-1 \right)e=0\]

\[y\left( 0 \right)=\left( 0-1 \right){{e}^{0}}=-1\]

Поэтому наименьшим значением функции на заданном отрезке является значение $y=-1$, которое функция принимает в точке $x=0$.

Правильный ответ

–1

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
  5. Как применять метод коэффициентов в сложных задачах из ЕГЭ по математике?
  6. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги