Задача 199 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=3-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+5x-5\sqrt{2}\sin x$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 3-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+5x-5\sqrt{2}\sin x \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-5\sqrt{2}\cos x+5\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-5\sqrt{2}\cos x+5=0\]

\[\cos x=\frac{5}{5\sqrt{2}}\]

\[\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[x=\pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)+2\pi k,k\in Z\]

Выберемзначения $x$, попадающие в указанный отрезок, зная что $\arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{\pi }{4}$: $x=\frac{\pi }{4}$.

Теперь найдем значения функции в найденной точке и на границах отрезка:

\[y\left( \frac{\pi }{4} \right)=3-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\frac{5\pi }{4}-5\sqrt{2}\sin \left( \frac{\pi }{4} \right)\]

\[\sin \left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[y\left( \frac{\pi }{4} \right)=3-5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-2\]

\[y=3-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+5x-5\sqrt{2}\sin x\]

\[y\left( 0 \right)=3-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+0-5\sqrt{2}\sin \left( 0 \right)\]

\[\sin \left( 0 \right)=0\]

\[y\left( 0 \right)=3-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\approx -0,9\]

\[y\left( \frac{\pi }{2} \right)=3-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\frac{5\pi }{2}-5\sqrt{2}\sin \left( \frac{\pi }{2} \right)\]

\[\sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\]

\[y\left( \frac{\pi }{2} \right)=3-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\frac{5\pi }{2}-5\sqrt{2}\sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=3-5\sqrt{2}+\frac{5\pi }{4}\approx -0,17\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наименьшее значение вточке $x=\frac{\pi }{4}$ равное $-2$.

Правильный ответ

$-2$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B2: Сложный процент и метод коэффициентов