Задача 195 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=7\text{tg}x-14x+\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+11$ на отрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$.

Используем:

\[{{\left( \text{tg}x \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{{y}^{'}}=-7\left( \frac{2{{\cos }^{2}}x-1}{{{\cos }^{2}}x} \right)\]

\[2{{\cos }^{2}}x-1=\cos 2x\]

\[{{y}^{'}}=-7\left( \frac{\cos 2x}{{{\cos }^{2}}x} \right)\]

\[{y}'={{\left( 7\text{tg}x-14x+\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+11 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 7\text{tg}x \right)}^{'}}-{{\left( 14x \right)}^{'}}+{{\left( \frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+11 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=\frac{7}{{{\cos }^{2}}x}-14=\frac{7-14{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}\]

Производная определена во всех точках заданного отрезка.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[{{y}^{'}}=-7\left( \frac{\cos 2x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=0\]

\[\cos 2x=0\]

\[2x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in Z\]

\[x=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\pi k,k\in Z\]

Выберем значения $x$, попадающие в указанный отрезок:

при $k=-1,{{x}_{1}}=-\frac{\pi }{4}\in \left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$,

при $k=0,{{x}_{2}}=\frac{\pi }{4}\in \left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$.

Теперь отметим на рисунке найденный точки и границы отрезка, исследуем поведение функции:

Видим, что:

При $-\frac{\pi }{3}\le x < -\frac{\pi }{4}$, ${{y}^{'}} > 0$, значит, фунция возрастает на этом промежутке, $y\left( -\frac{\pi }{4} \right) > y\left( -\frac{\pi }{3} \right)$.

При $-\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{4}$, ${{y}^{'}} < 0$, значит, фунция убывает на этом промежутке, $y\left( -\frac{\pi }{4} \right) > y\left( \frac{\pi }{4} \right)$.

При$\frac{\pi }{4} < x\le \frac{\pi }{3}$, ${{y}^{'}} > 0$, значит, фунция возрастает на этом промежутке, $y\left( \frac{\pi }{3} \right) > y\left( \frac{\pi }{4} \right)$.

Значит наименьшим значением функции на заданном отрезке, является наименьшее из двух значений: $y\left( \frac{\pi }{4} \right)$ и $y\left( -\frac{\pi }{3} \right)$.

Найдем значения и сравним:

\[\text{tg}\left( -\frac{\pi }{3} \right)=-\text{tg}\left( \frac{\pi }{3} \right)=-\sqrt{3}\]

\[y\left( -\frac{\pi }{3} \right)=y\left( -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=-7\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+14\cdot \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+11\]

\[y\left( -\frac{\pi }{3} \right)=-7\sqrt{3}+\frac{49}{6}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+11\approx 24,5\]

\[\text{tg}\left( \frac{\pi }{4} \right)=1\]

\[y\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=7\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}-3,5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+3,5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+11=18\]

\[y\left( \frac{\pi }{4} \right) < y\left( -\frac{\pi }{3} \right)\]

Значит наименьшее значение функции на заданном отрезке: $y\left( \frac{\pi }{4} \right)=18$

Правильный ответ

18

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги