Задача 193 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=\left( 0,5-x \right)\cos x+\sin x$, принадлежащую промежутку $\left( 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y=\left( 0,5-x \right)\cos x+\sin x$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций и производной произведения:

\[\left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g\]

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

И найдем производную от заданной функции:

\[{y}'={{\left( \left( 0,5-x \right)\cos x+\sin x \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 0,5-x \right)}^{\prime }}\cos x+\left( 0,5-x \right){{\left( \cos x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sin x \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-\cos x-\left( 0,5-x \right)\sin x+\cos x=\left( x-0,5 \right)\sin x\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[{{y}^{'}}=0\]

\[\left( x-0,5 \right)\sin x=0\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит:

\[\left[ \begin{matrix}x-0,5=0\\\sin x=0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=0,5\\{{x}_{2}}=\pi k,k\in Z\\\end{matrix} \right.\]

Видим, что в указанный интервал$\left( 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)$ попадает только значение $x=0,5$.

Исследуем знаки производной и поведение функции на этом интервале, отметив найденную точку и интервал на рисунке:

Найденная точка разбивает заданный интервал на две части:

При $0 < x < \frac{1}{2}$ ${{y}^{'}} < 0$, функция убывает,

При $\frac{1}{2} < x < \frac{\pi }{2}$ ${{y}^{'}} > 0$ функция возрастает.

Точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$на $+$. Поэтому точкой минимума функции $y=\left( 0,5-x \right)\cos x+\sin x$является точка $x=\frac{1}{2}$.

Правильный ответ

$x=\frac{1}{2}$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией