Задача 191 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=13x-9\sin x+9$ наотрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 13x-9\sin x+9 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 13x \right)}^{'}}-{{\left( 9\sin x \right)}^{'}}+{{\left( 9 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=13-9\cos x\]

Производнаяопределенапри$x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[13-9\cos x=0\]

\[\cos x=\frac{13}{9}\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{13}{9} > 1$, что не входит в область значений функции $\cos x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда положительная, поскольку:

\[-1\le \cos x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наименьшее значение возрастающая функция принимает на левом конце заданного отрезка (при минимальном значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=13\cdot 0-9\sin 0+9 \\ & \sin \left( 0 \right)=0 \\ & y\left( 0 \right)=9 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

9

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Тригонометрические функции
  6. Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы