Задача 187 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=4x-4\text{tg}x+12$ наотрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};0 \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[\begin{align}& {{\left( tgx \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 4x-4\text{tg}x+12 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-{{\left( 4\text{tg}x \right)}^{'}}+{{\left( 4x \right)}^{'}}+{{\left( 12 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{4}{{{\cos }^{2}}x}+4=\frac{4{{\cos }^{2}}x-4}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{y}^{'}}=-4\left( \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=-4{{\text{tg}}^{2}}x \\ \end{align}\]

Видим, что производная всегда неположительная, а значит, функция $y=4x-4\text{tg}x+12$ убывает на всей области определения, в том числе на указанном отрезке.

Убывающая функция принимает наименьшее значение на правом конце отрезка, а именно в точке $x=0$.

Вычислим:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=4\cdot 0-4\text{tg}0+12 \\ & \text{tg}0=0 \\ & y\left( 0 \right)=12 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

12

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задача B2 на проценты: вычисление полной стоимости покупки