Задача 185 — наименьшее значение

7 декабря 2016

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=4\text{tg}x-4x-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+5$ на отрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Найти область определения функции
Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие заданному отрезку
Найти значение функции в этих точках и на границах заданного отрезка
Сравнить найденные значения — выбрать из них наименьшее

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена. Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[\begin{align}& {{\left( \text{tg}x \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 4\text{tg}x-4x-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+5 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 4\text{tg}x \right)}^{'}}-{{\left( 4x \right)}^{'}}+{{\left( 5-\pi\right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{4}{{{\cos }^{2}}x}-4=\frac{4-4{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{y}^{'}}=4\left( \frac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=4\left( \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=4{{\text{tg}}^{2}}x \\ \end{align}\]

Видим, что производная всегда неотрицательная, а значит, функция $y=4\text{tg}x-4x-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+5$ возрастает на всей области определения, в том числе на указанном отрезке.

Возрастающая функция принимает наименьшее значение на левом конце отрезка, а именно в точке $x=-\frac{\pi }{4}$.

Вычислим:

\[\begin{align}& y\left( -\frac{\pi }{4} \right)=4\text{tg}\left( -\frac{\pi }{4} \right)-4\left( -\frac{\pi }{4} \right)-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+5 \\ & \text{tg}\left( -\frac{\pi }{4} \right)=-\text{tg}\left( \frac{\pi }{4} \right)=-1 \\ & y\left( -\frac{\pi }{4} \right)=-4+\pi -\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+5=1 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

Смотрите также: