Задача 131 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=3x-\ln {{\left( x+3 \right)}^{3}}$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=3x-\ln {{\left( x+3 \right)}^{3}}$: ${{\left( x+3 \right)}^{3}} > 0$ — область определения функции $\ln x$.

Поэтому:

\[\begin{align}& x+3 > 0 \\ & x > -3 \\ \end{align}\]

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 3x-\ln {{\left( x+3 \right)}^{3}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 3x \right)}^{'}}-{{\left( 3\ln \left( x+3 \right) \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=3-\frac{3}{x+3}=\frac{3x+9-3}{x+3}=\frac{3x+6}{x+3} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{3x+6}{x+3}=0 \\ \end{align}\]

Так как знаменатель не равен нулю, то:

\[\begin{align}& 3x+6=0 \\ & 3x=-6 \\ & x=-2 \\ \end{align}\]

При $x=-2$ функция определена.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -2 \\ & x > -2 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке. Учтем область определения функции:

Получаем:

при $-3 < x < -2$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > -2$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

Известно, что точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$ на $+$.

Поэтому точкой минимума функции $y=3x-\ln {{\left( x+3 \right)}^{3}}$является точка $x=-2$.

Правильный ответ

$x=-2$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
  5. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
  6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение