Задача 126 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=\ln \left( 11x \right)-11x+9$ на отрезке $\left[ \frac{1}{22};\frac{5}{22} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции $y=\ln \left( 11x \right)-11x+9$: $x > 0$ — область определения функции $\ln x$.

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \ln \left( 11x \right)-11x+9 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( \ln \left( 11x \right) \right)}^{'}}-{{\left( 11x \right)}^{'}}+{{\left( 9 \right)}^{'}}=\frac{11}{11x}-11 \\ & {{y}^{'}}=\frac{11-121x}{11x}=\frac{-11\left( 11x-1 \right)}{11x}=\frac{-\left( 11x-1 \right)}{x} \\ & {{y}^{'}}=\frac{-\left( 11x-1 \right)}{x} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\frac{\left( 11x-1 \right)}{x}=0 \\ \end{align}\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& -11x+1=0 \\ & -11x=-1 \\ & x=\frac{1}{11} \\ \end{align}\]

При найденном значении функция определена и это значение попадает в указанный отрезок.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < \frac{1}{11} \\ & x > \frac{1}{11} \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $\frac{1}{22}\le x < \frac{1}{11}$, ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( \frac{1}{11} \right) > y\left( \frac{1}{22} \right)$,

при $\frac{1}{11} < x\le \frac{5}{22}$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит, $y\left( \frac{1}{11} \right) > y\left( \frac{5}{22} \right)$.

Поэтому своё наибольшее значение на отрезке $\left[ \frac{1}{22};\frac{5}{22} \right]$ функция принимает в точке $x=\frac{1}{11}$, которая является точкой максимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с$+$ на $-$).

Найдем это значение:

\[y\left( \frac{1}{11} \right)==\ln 1-\frac{1}{11}\cdot 11-9=8\]

Правильный ответ

8

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
  5. Задача B4: случай с неизвестным количеством товара
  6. Как формулы приведения работают в задаче B11