Задача 125 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=9x-\ln \left( 9x \right)+3$ наотрезке $\left[ \frac{1}{18};\frac{5}{18} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции $y=9x-\ln \left( 9x \right)+3$: $x > 0$ — область определения функции $\ln x$.

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 9x-\ln \left( 9x \right)+3 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 9x \right)}^{'}}-{{\left( \ln \left( 9x \right) \right)}^{'}}+{{\left( 3 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=9-\frac{9}{9x}=\frac{81x-9}{9x}=\frac{9x-1}{x} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\frac{9x-1}{x}=0\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 9x-1=0 \\ & x=\frac{1}{9} \\ \end{align}\]

При найденном значении функция определена и это значение попадает в указанный отрезок.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < \frac{1}{9} \\ & x > \frac{1}{9} \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $\frac{1}{18}\le x < \frac{1}{9}$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит, $y\left( \frac{1}{9} \right) < y\left( \frac{1}{18} \right)$,

при $\frac{1}{9} < x\le \frac{5}{18}$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( \frac{5}{18} \right) > y\left( \frac{1}{9} \right)$.

Поэтому своё наименьшее значение на отрезке $\left[ \frac{1}{18};\frac{5}{18} \right]$ функция принимает в точке $x=\frac{1}{9}$, которая является точкой минимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с$-$ на $+$).

Найдем это значение:

\[y\left( \frac{1}{9} \right)=9\cdot \frac{1}{9}-\ln \left( 9\cdot \frac{1}{9} \right)+3=1-0+3=4\]

Правильный ответ

$4$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Подготовка к ЕГЭ по математике
  6. Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов