Задача 123 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=4x-4\ln \left( x+7 \right)+6$ на отрезке [–6,5; 0].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции $y=4x-4\ln \left( x+7 \right)+6$: $x+7 > 0$ — область определения функции $\ln x$.

\[\begin{align}& x+7 > 0 \\ & x > -7 \\ \end{align}\]

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 4x-4\ln \left( x+7 \right)+6 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 4x \right)}^{'}}-{{\left( 4\ln \left( x+7 \right)+6 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=4-\frac{4}{x+7}=\frac{4x+28-4}{x+7}=\frac{4x+24}{x+7} \\ & {{y}^{'}}=\frac{4\left( x+6 \right)}{x+7} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=\frac{4\left( x+6 \right)}{x+7}=0 \\ & \frac{4\left( x+6 \right)}{x+7}=0 \\ \end{align}\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 4\left( x+6 \right)=0 \\ & x=-6 \\ \end{align}\]

При найденном значении функция определена и это значение попадает в указанный отрезок.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -6 \\ & x > -6 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $-6,5\le x < 6$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит, $y\left( -6 \right) < y\left( -6,5 \right)$,

при $-6 < x\le 0$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( 0 \right) > y\left( -6 \right)$

Поэтому своё наименьшее значение на отрезке $\left[ -6,5;0 \right]$ функция принимает в точке $x=-6$, которая является точкой минимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с$-$ на $+$).

Найдем это значение:

\[y\left( -6 \right)=-6\cdot 4-4\ln 1+6=-18\]

Правильный ответ

$-18$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B15: что делать с квадратичной функцией