Задача 113 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{\left( x+3 \right)}^{2}}{{e}^{-3-x}}$ на отрезке [–5; –1].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y={{\left( x+3 \right)}^{2}}{{e}^{-3-x}}$является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции.

Мы видим, что сама функция представляет собой произведение элементарной функции и показательной. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}}{{e}^{-3-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}} \right)}^{'}}{{e}^{-3-x}}+{{\left( x+3 \right)}^{2}}{{\left( {{e}^{-3-x}} \right)}^{\prime }}=2\left( x+3 \right){{e}^{-3-x}}-{{\left( x+3 \right)}^{2}}{{e}^{-3-x}} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{-3-x}}\left( x+3 \right)\left( 2-x-3 \right) \\ & {{y}^{'}}=-{{e}^{-3-x}}\left( x+3 \right)\left( x+1 \right) \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -{{e}^{-3-x}}\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)=0 \\ \end{align}\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Так как множитель ${{e}^{-3-x}}$ не равен 0 ни при каких значениях $x$, значит:

\[\begin{align}& \left[ \begin{matrix}x+3=0\\x+1=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=-3\\{{x}_{2}}=-1\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Видим, что оба значения попадают в заданный отрезок.

Так как наименьшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( -5 \right)={{\left( -5+3 \right)}^{2}}{{e}^{-3+5}}=4{{e}^{2}} \\ & y\left( -3 \right)={{\left( -3+3 \right)}^{2}}{{e}^{-3+3}}=0 \\ & y\left( -1 \right)={{\left( -1+3 \right)}^{2}}{{e}^{-3+1}}=4{{e}^{-2}} \\ & 0 < 4{{e}^{-2}} < 4{{e}^{2}} \\ \end{align}\]

Наименьшее значение функции на заданном отрезке равно $0$, которое функция принимает в стационарной точке $x=-3$.

Правильный ответ

0

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Как решать задачу 18: графический подход
  6. Задача B4: обмен валют в трех различных банках