Задача 111 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-2}}$ на отрезке [1; 4].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-2}}$является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции.

Мы видим, что сама функция представляет собой произведение элементарной функции и показательной. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-2}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right)}^{'}}{{e}^{x-2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( {{e}^{x-2}} \right)}^{\prime }}=2\left( x-2 \right){{e}^{x-2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-2}} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{x-2}}\left( x-2 \right)\left( 2+x-2 \right) \\ & {{y}^{'}}=x\left( x-2 \right){{e}^{x-2}} \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & x\left( x-2 \right){{e}^{x-2}}=0 \\ \end{align}\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Так как множитель ${{e}^{x-2}}$ не равен 0 ни при каких значениях $x$, значит:

\[\begin{align}& \left[ \begin{matrix}x=0\\x-2=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=0\\{{x}_{2}}=2\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Видим, что ${{x}_{1}}=0$ не попадает в заданный отрезок. Отбрасываем его.

Так как наименьшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( 1 \right)={{\left( 1-2 \right)}^{2}}{{e}^{1-2}}=1\cdot {{e}^{-1}}={{e}^{-1}} \\ & y\left( 2 \right)={{\left( 2-2 \right)}^{2}}{{e}^{2-2}}=0 \\ & y\left( 4 \right)={{\left( 4-2 \right)}^{2}}{{e}^{4-2}}=4\cdot {{e}^{2}}=4{{e}^{2}} \\ & 0 < {{e}^{-1}} < 4{{e}^{2}} \\ \end{align}\]

Наименьшее значение функции на заданном отрезке равно $0$, которое функция принимает в стационарной точке $x=2$.

Правильный ответ

0

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Пример решения задачи 15
  6. Показательные функции в задаче B15: хитрости решения