Задача 110 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{10-x}}$ на отрезке [5; 11].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{10-x}}$является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции.

Мы видим, что сама функция представляет собой произведение элементарной функции и показательной. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( \left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{10-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right)}^{\prime }}{{e}^{10-x}}+\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{\left( {{e}^{10-x}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=\left( 2x-10 \right){{e}^{10-x}}-\left( {{x}^{2}}-10x+10 \right){{e}^{10-x}} \\ & {{y}^{'}}=-\left( {{x}^{2}}-12x+20 \right){{e}^{10-x}} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\left( {{x}^{2}}-12x+20 \right){{e}^{10-x}}=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{10-x}}\ne 0$, значит:

\[\begin{align}& -\left( {{x}^{2}}-12x+20 \right)=0 \\ & -{{x}^{2}}+12x-20=0 \\ & D=144-4\cdot \left( -1 \right)\left( -20 \right)=144-80=64 \\ & \sqrt{D}=8 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{-12+8}{-2}=2\\{{x}_{2}}=\frac{-12-8}{-2}=10\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=-\left( x-2 \right)\left( x-10 \right) \\ \end{align}\]

Видим, что ${{x}_{1}}=2$ не попадает в заданный отрезок. Отбрасываем его.

Так как наибольшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( 5 \right)=\left( {{5}^{2}}-10\cdot 5+10 \right){{e}^{10-5}}=\left( 25-50+10 \right){{e}^{5}}=-15{{e}^{5}} \\ & y\left( 10 \right)=\left( {{10}^{2}}-10\cdot 10+10 \right){{e}^{10-10}}=\left( 100-100+10 \right){{e}^{0}}=10\cdot 1=10 \\ & y\left( 11 \right)=\left( {{11}^{2}}-10\cdot 11+10 \right){{e}^{10-11}}=\left( 121-110+10 \right){{e}^{-1}}=21{{e}^{-1}} \\ & -15{{e}^{5}} < 21{{e}^{-1}} < 10 \\ \end{align}\]

Наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 10.

Правильный ответ

10

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 12 (без логарифмов)
  5. C2: расстояние между двумя прямыми
  6. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты