Задача 105 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=\left( 8-x \right){{e}^{x-7}}$ на отрезке [3; 10].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\left( 8-x \right){{e}^{x-7}}$является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции.

Мы видим, что сама функция представляет собой произведение элементарной функции и показательной. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \left( 8-x \right){{e}^{x-7}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 8-x \right)}^{\prime }}{{e}^{x-7}}+\left( 8-x \right){{\left( {{e}^{x-7}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=-{{e}^{x-7}}+\left( 8-x \right){{e}^{x-7}} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{x-7}}\left( 8-x-1 \right) \\ & {{y}^{'}}={{e}^{x-7}}\left( 7-x \right) \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & {{e}^{x-7}}\left( 7-x \right)=0 \\ \end{align}\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Так как множитель ${{e}^{x-7}}$ не равен 0 ни при каких значениях $x$, значит, второй множитель должен быть равен нулю:

\[\begin{align}& 7-x=0 \\ & x=7 \\ \end{align}\]

Видим, что $x=7$ попадает в заданный отрезок.

Так как наибольшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( 3 \right)=\left( 8-3 \right){{e}^{3-7}}=5{{e}^{-4}} \\ & y\left( 7 \right)=\left( 8-7 \right){{e}^{7-7}}=1\cdot 1=1 \\ & y\left( 10 \right)=\left( 8-10 \right){{e}^{10-7}}=-2{{e}^{3}} \\ & -2{{e}^{3}} < 5{{e}^{-4}} < 1 \\ \end{align}\]

Наибольшее значение функции на заданном отрезке равно $1$.

Правильный ответ

1

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Решение задач B1: №17—32
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты