Задача 7 — информация на серверах

Условие

Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме ${{t}^{2}}$Гбайт входящей в него информации выходит $20t$ Гбайт, а с сервера №2 при объёме ${{t}^{2}}$Гбайт входящей в него информации выходит $21t$ Гбайт обработанной информации;$25< t< 55$. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

Решение

Пусть на сервере №1 обрабатывается ${{x}^{2}}$ а на сервере №2 обрабатывается ${{y}^{2}}$ Гбайт из всей первичной информации. Тогда ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3364$, а обработано будет $20x+21y$ Гбайт информации. Выразим $y$ через $x$. Получим: $y=\sqrt{3364-{{x}^{2}}}$. Требуется найти наибольшее значение функции $f\left( x \right)=20x+21\sqrt{3364-{{x}^{2}}}$.

\[{f}'\left( x \right)=20-\frac{21x}{\sqrt{3364-{{x}^{2}}}};\]

\[20-\frac{21x}{\sqrt{3364-{{x}^{2}}}}=0;\]

\[400=\frac{441{{x}^{2}}}{3364-{{x}^{2}}};\]

\[{{x}^{2}}=\frac{400\cdot 3364}{841};\]

\[\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}=1600; \\ & 25< x< 55, \\ \end{align} \right.\]

\[x=40\].

Так как в точке $x=40$ производная меняет знак с «+» на «–», это — точка максимума функции, при этом $y=\sqrt{3364-1600}=42$. Условия $25\le x\le 55,\ 25\le y\le 55$ выполнены.

Значит, ${{f}_{\text{}}}=f\left( 40 \right)=20\cdot 40+21\cdot 42=1682$.

Приведём другое решение

Пусть на сервере №1 обрабатывается ${{x}^{2}}$, а на сервере №2 обрабатывается ${{y}^{2}}$Гбайт из всей входящей информации. Тогда ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3364$, а выходящей информации будет $20x+21y$ Гбайт. Требуется найти максимум суммы $20x+21y$при условии

\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3364,\ 25\le x\le 55,\ 25\le y\le 55\].

Так как $3364={{58}^{2}}$, то $x=58\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ },\ y=58\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ для некоторого угла $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\in \left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$. Так как ${{20}^{2}}+{{21}^{2}}={{29}^{2}}$, то

\[20x+21y=58\left( 20\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+21\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=58\cdot 29\left( \frac{20}{29}\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\frac{21}{29}\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\]

\[=58\cdot 29\cos \left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ } \right)\]

для некоторого вспомогательного угла $\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }$ с $\cos \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{21}{29},\ \sin \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\frac{20}{29}$. Следовательно, наибольшее значение суммы $20x+21y=58\cdot 29=1682$. Оно достигается при $\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{20}{29},\ \sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{21}{29},\ x=40,\ y=42$, то есть для значений, удовлетворяющих условиям $25< x< 55,\ 25< y< 55$.

Приведём третий вариант решения

Пусть на сервере №1 обрабатывается ${{x}^{2}}$, а на сервере №2 обрабатывается ${{y}^{2}}$ Гбайт из всей первичной информации. Тогда ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3364$, а обработано будет $C=20x+21y$ Гбайт информации.

Так как 3364 = 582 то уравнение ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3364$ задает окружность радиуса 58 с центром в начале координат. Заметим, что уравнение $C=20x+21y$ задает семейство параллельных прямых. Мы ищем наибольшее значение С такое, что прямая $C=20x+21y$ имеет общие точки с окружностью. Из всех прямых семейства пересекающих окружность, наибольшее значение С будет достигаться в случае касания.

Проведем из начала координат в первый координатный квадрант вектор $\overrightarrow{a}\left( 20;21 \right)$ перпендикулярный прямым $20x+21y=C$. Луч, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, пересечёт окружность $\text{ }\!\!\omega\!\!\text{ }$ в точке $A\left( 40;42 \right)$. Это и будет точка касания в которой достигается наибольшее значение C. Условия $25< x< 55,\ 25< y< 55$ для точки $a\left( 40;42 \right)$ выполнены. Значит, ${{C}_{\text{}}}=20\cdot 40+21\cdot 42=1682$.

Правильный ответ

1682

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 5 (без производных)
  5. Как решать задачи про смеси и сплавы
  6. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии