Задача 67 — увеличение суммы вклада

Условие

По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 5% в первый год и на одинаковое целое число $n$ процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение $n$, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение

Пусть на каждый тип вклада была внесена одинаковая сумма $S$.

1) На вкладе «А» каждый год сумма увеличивается на 10%, то есть умножается на коэффициент 1,1 (если первоначальный вклад равен $S$ млн рублей, то после увеличения на $a$% вклад станет равен $S+\frac{S}{100}\cdot a=S(1+0,01a)$. Коэффициент увеличения обозначим $k=1+0,01a$. Так как $a=10$% по условию, то $k=1+\frac{10}{100}=1,1$).

Поэтому через три года сумма на вкладе «А» будет равна

\[{{1,1}^{3}}S=1,331S.\]

2) Аналогично, сумма на вкладе «Б» будет равна

\[1,05{{\left( 1+\frac{n}{100} \right)}^{2}}S,\]

где $n$ — некоторое натуральное число.

По условию требуется найти наименьшее натуральное значение $n$, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А», то есть найти решение неравенства:

\[1,05\cdot {{\left( 1+\frac{n}{100} \right)}^{2}}S >1,331S,\ \]

\[{{\left( 1+\frac{n}{100} \right)}^{2}} >\frac{1331}{1050}=1,26...\]

При n = 13 неравенство верно:

\[{{1,13}^{2}} >1,26...;\ 1,2769 >1,26...\]

а при n = 12 неравенство неверно:

\[{{1,12}^{2}} >1,26...;\ 1,2544 >1,26...\]

как и при всех меньших $n$.

То есть наименьшее число процентов $n=13$%.

Правильный ответ

13

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Системы линейных уравнений: основные понятия
  4. Площадь круга
  5. Четырехугольная пирамида в задаче C2
  6. Как решать задачи про летающие камни?