Задача 63 — условия погашение кредита

Условие

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение

Пусть кредит планируется взять на $n$ лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть $n$раз на $\frac{28}{n}$ :

\[28-\frac{28}{n},...,\frac{28\cdot 2}{n},\ \frac{28}{n},\ 0.\]

По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, коэффициент повышения равен $1+0,01\cdot 25=1,25=1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$. Последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

\[\frac{5}{4}\cdot 28,\frac{5}{4}\cdot \frac{28\left( n-1 \right)}{n},...,\frac{5}{4}\cdot \frac{28\cdot 2}{n},\ \frac{5}{4}\cdot \frac{28}{n},\ 0\]

или $35,\ \frac{35\left( n-1 \right)}{n},...,\frac{35\cdot 2}{n},\ \frac{35}{n}$.

Таким образом, первая выплата равна $35-\left( 28-\frac{28}{n} \right)=7+\frac{28}{n}$,

вторая выплата равна $\frac{35\left( n-1 \right)}{n}-\left( \frac{28((n-1)-1)}{n} \right)=\frac{7\left( n-1 \right)+28}{n},...$

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

\[7+\frac{28}{n},\ \frac{7\left( n-1 \right)+28}{n},...,\frac{7\cdot 2+28}{n},\ \frac{7+28}{n}.\]

По условию наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей, а это первый из платежей. Получаем: $7+\frac{28}{n}=9$, откуда $n=14$. Значит, всего следует выплатить

\[14\cdot \frac{28}{14}+7\left( 1+\frac{13}{14}+...+\frac{2}{14}+\frac{1}{14} \right)=28+7\cdot \frac{1+\frac{1}{14}}{2}\cdot 14=80,5 \text{(млн руб.).}\]

Приведём другое решение

По условию долг уменьшается по арифметической прогрессии:

\[28,\ 28-d,\ 28-2d,...,0.\]

Первая выплата равна $28\cdot 1,25-(28-d)=7+d.$

Вторая выплата равна $ (28-d)\cdot 1,25-(28-2d)=7+0,75d.$

Третья выплата равна $ (28-2d)\cdot 1,25-(28-3d)=7+0,5d.$

Четвертая выплата равна $ (28-3d)\cdot 1,25-(28-4d)=7+0,25d$ и так далее.

Значит, наибольшая выплата — первая, $7+d=9,$ $d=2$, $d=\frac{28}{n}$, значит, выплат — 14 штук и они составляют арифметическую прогрессию, но с разностью $-0,25d=-0,5$.

Общая выплата равна $9+8,5+8+...+2,5=11,5\cdot 7=80,5$.

Правильный ответ

80,5

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Системы линейных уравнений: основные понятия
  4. Площадь круга
  5. Четырехугольная пирамида в задаче C2
  6. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов