Задача 55 — кредит Ярослава

Условие

31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение

Заметим сначала, что увеличить число на 12,5% это тоже самое, что умножить это число на $\frac{9}{8}$. Пусть Ярослав взял в банке $N$ рублей, а его ежегодный платеж равен $a$ (в данном случае $a=2132325$).

После первого платежа сумма долга равна ${{S}_{1}}=\frac{9}{8}N-a;$

После второго: ${{S}_{2}}=\left( \frac{9}{8}N-a \right)\frac{9}{8}-a;$

Послетретьего: ${{S}_{3}}=\left( \left( \frac{9}{8}N-a \right)\frac{9}{8}-a \right)\frac{9}{8}-a$;

Тогдаизусловия, чтоонвыплатилдолгчетырьмяравнымиплатежами, следуетуравнение: ${{S}_{4}}=0$, тоесть $\left( \left( \left( \frac{9}{8}N-a \right)\frac{9}{8}-a \right)\frac{9}{8}-a \right)\frac{9}{8}-a=0$. Раскрываяскобки, получаемследующее:

\[\left( \left( {{\left( \frac{9}{8} \right)}^{2}}N-\frac{17}{8}a \right)\frac{9}{8}-a \right)\frac{9}{8}-a=0;\]

\[\left( {{\left( \frac{9}{8} \right)}^{3}}N-\frac{217}{64}a \right)\frac{9}{8}-a=0;\]

\[{{\left( \frac{9}{8} \right)}^{4}}N-\frac{217\cdot 9}{64\cdot 8}a-a=0;\]

\[N=a\left( \frac{217\cdot 9}{{{8}^{3}}}+1 \right)\cdot \frac{{{8}^{4}}}{{{9}^{4}}};\]

Отсюда

\[N=\left( \frac{8\cdot 217}{{{9}^{3}}}+\frac{{{8}^{4}}}{{{9}^{4}}} \right)a;\]

\[N=\frac{8a\left( 1953+512 \right)}{{{9}^{4}}};\]

\[N=\frac{8\cdot 2465a}{{{9}^{4}}};\]

\[N=\frac{19720\cdot 2132325}{{{9}^{4}}};\]

\[N=19720\cdot 325;\]

\[N=6409000.\]

Правильный ответ

6 409 000 рублей

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Локальная теорема Муавра — Лапласа
  5. Показательные функции в задаче B15
  6. Учимся расщеплять ответы в тригонометрических уравнениях