Задача 49 — кредит Всеволода Ярославовича

Условие

1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Решение

Минимальное количество месяцев получим в том случае, если выплаты максимальны и составляют 300 тыс. рублей. Коэффициент повышения равен $1+0,01a=1+0,01\cdot 1=1,01$, так как при сумме кредита $S$ и процентной ставке $a$%, начисляя проценты, получаем $S+\frac{S}{100}\cdot a=S(1+0,01a)$. Таблица выплат будет выглядеть так:

МесяцДолг банку (руб.)Остаток долга после выплаты (руб.)
0900 000
1$900 000\cdot 1,01 = 909 000$909 000 – 300000 = 609 000
2$609 000\cdot 1,01 = 615 090$615 090 – 300 000 = 315 090
3$315 090\cdot 1,01 = 318 240,9$318 240,9 – 300 000 = 18 240,9
4$18 240,9\cdot 1,01 = 18 423,309$18 423,309 – 18 423,309 = 0

Второй способ

Минимизировать время выплат можно, только максимизировав сами выплаты. Решим задачу в общем виде.

Пусть $S$ — сумма (в тыс. руб.) кредита; ${{S}_{n}}$ — задолженность в $n$-й месяц; $s$ — выплата в $n$-й месяц, Sn = S; $q$ — коэффициент ежемесячного повышения, $q >\text{ }1$. Тогда

\[{{S}_{1}}=qS-s,\]

\[{{S}_{2}}=q{{S}_{1}}-s=q\left( qS-s \right)-s={{q}^{2}}S-\left( 1+q \right)s,\]

\[{{S}_{3}}=q{{S}_{2}}-s={{q}^{3}}S-\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)s,...\]

После предпоследней выплаты останется ${{S}_{N-1}}\le s$ и тогда в последний, $N$-й раз, кредит будет погашен. Значит,

\[{{S}_{N-1}}={{q}^{N-1}}S-\left( 1+q+{{q}^{2}}+...+{{q}^{N-2}} \right)s={{q}^{N-1}}S-\frac{{{q}^{N-1}}-1}{q-1}s\le s.\]

Относительно $x={{q}^{N}}^{-1}$ получаем неравенство

\[\left( q-1 \right)xS-\left( x-1 \right)s\le \left( q-1 \right)s,\ \]

\[x\left( \left( q-1 \right)S-s \right)\le \left( q-2 \right)s.\]

По условию $S=\text{ }900$, $s=\text{ }300$, $q=\text{ }1,01$, т. е. $x\cdot \left( -291 \right)\le -297,\ $ $x={{1,01}^{N-1}}\ge \frac{297}{291}=1,0206...$

Таккак ${{1,01}^{2}}=\text{ }1,0201\text{ }< \text{ }1,0206...,\text{ },$

\[{{1,01}^{3}}=\text{ }1,030301\text{ } >\text{ }1,0206...,\text{ }\]

то $N-1=3,N=4.$

Третий способ

Если бы банк не брал процентов, то долг можно было бы вернуть за 3 месяца. Банк за 3 месяца возьмет меньше, чем 3% от первоначальной суммы в 900 тыс., т.е. меньше 27 тыс. Поэтому то, что забирает банк, точно можно будет оплатить в 4-й месяц, потратив меньше 300 тыс.

Правильный ответ

4

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Системы линейных уравнений: основные понятия
  4. Теорема Виета
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
  6. Задача B5: метод узлов