Задача 45 — увеличение ставки

Условие

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку $a$% до $ (a+40)$%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение

Пусть банк первоначально принял вклад в размере $S$ под $x$% годовых. Тогда к началу второго года сумма стала $S+\frac{S}{100}\cdot x=S(1+0,01x)$.

После снятия четверти накопленной суммы на счету осталось $\frac{3S}{4}\left( 1+0,01x \right)$.

С момента увеличения банком процентной ставки на 40% к концу второго года хранения остатка вклада накопленная сумма стала равна

$\frac{3S}{4}\left( 1+0,01x \right)+\frac{\frac{3S}{4}\left( 1+0,01x \right)}{100}\cdot (x+40)=\frac{3S}{4}\left( 1+0,01x \right)\cdot \left( 1+\left( x+40 \right)\cdot 0,01 \right).$

По условию задачи эта сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад, то есть равна 1,44S.

Решим уравнение $\frac{3S}{4}(1+0,01x)(1+(x+40)\cdot 0,01)=1,44S;$

\[(1+0,01x)(1+(x+40)\cdot 0,01)=1,92; \left| \cdot 10000 \right.\]

\[(100+x)(100+(x+40))=19200;\]

\[\left( 100+x \right)\cdot \left( 140+x \right)=19200;\]

\[{{x}^{2}}+240x-5200=0;\]

\[x=-120\pm \sqrt{19600};\]

\[\left\{ \begin{align}& x=-120\pm 140; \\ & x >0, \\ \end{align} \right.\]

\[x=20.\]

После повышения на 40 процентных пунктов ставка достигла 20% + 40% = 60%.

Правильный ответ

60

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Решение квадратных уравнений
  4. Следствия из теоремы Виета
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
  6. Задача B5: площадь закрашенного сектора