Задача 23 — масса металлов

Условие

В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется ${{x}^{2}}$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется ${{y}^{2}}$ человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение

1) Чтобы в двух областях суммарно добыть наибольшую массу взаимозаменяемых металлов, в каждой области необходимо добывать наибольшее количество металла. Значит, все рабочие первой области должны быть направлены на добычу никеля, который они добывают втрое более эффективно, чем алюминий. За сутки ими будет добыто $160\cdot 5\cdot 0,3=240$ кг никеля.

2) $\text{ Человеко-час }=\text{ Кол-во работников }\cdot\text{ Кол-во часов на рабочем месте } $. Следовательно, если во второй области ${{a}^{2}}=$ Кол-во работников5, то кол-во работников = $\frac{{{a}^{2}}}{5}$ и они добывают за 5 ч $a$кг металла.

АлюминийНикель
Кол-во рабочих, челКол-во металла за смену (5 ч), кгКол-во рабочих, челКол-во металла за смену (5 ч), кг
Область 2$\frac{{{a}^{2}}}{5}$ $a$ $\frac{{{b}^{2}}}{5}$ $b$

Заметим, что $\frac{{{a}^{2}}}{5}+\frac{{{b}^{2}}}{5}=160$, откуда $b=\sqrt{800-{{a}^{2}}}$.

Пусть $f$ кг — суммарная масса добытого за сутки в обеих областях металла$f=a+240+b$. Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него $b=\sqrt{800-{{a}^{2}}}$:

\[f=240+a+\sqrt{800-{{a}^{2}}};\]

\[{f}'=1-\frac{a}{\sqrt{800-{{a}^{2}}}};\]

${f}'=0$ при $\sqrt{800-{{a}^{2}}}=a;$ $a=20,$ так как $0\le a\le \sqrt{800}.$

При $a,$ меньших 20, производная положительна, а при $a,$ больших 20, производная отрицательна, поэтому в точке 20 функция достигает максимума ${{f}_{\max }}=240+20+\sqrt{800-{{20}^{2}}}=280$, равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Тем самым, 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу угля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 280 кг металла.

Приведём геометрическое решение

Пусть во второй области на добычу алюминия будет отведено x2 человеко-часов, а на добычу никеля — y2 человеко-часов. Всего рабочих 160, работая по 5 часов, они вырабатывают 800 человеко-часов в сутки, поэтому ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=800$. Для таких значений переменных требуется определить наибольшее значение количества добытого металла $s=x+y$. Тем самым, необходимо определить наибольшее значение параметра s при котором прямая, задаваемая уравнением $y=s-x$, будет иметь с окружностью ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=800$ общие точки, лежащие в первой координатной четверти.

Из рисунка видно, что точка касания является серединой гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Координаты точки касания $\left( 0,5s;0,5s \right)$ должны удовлетворять уравнению окружности. Тогда $0,25{{s}^{2}}+0,25{{s}^{2}}=800$, откуда s = 40, при x = y = 20.

Правильный ответ

280

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Геометрическая вероятность
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 8 (без производных)
  5. Иррациональные неравенства. Часть 1
  6. Как решать простейшие логарифмические уравнения