Задача 1 — распределение по классам

Условие

В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Решение

Решение 1

Пусть в меньший класс распределено х девочек (где $2\le x\le 22$, так как девочек не может быть здесь 0 или 1, иначе в другом классе их будет 25 или 24, что невозможно из-за требуемого количества в 23 человека), тогда в больший класс попало (25 – x) девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна $\frac{x}{22}+\frac{25-x}{23}=\frac{x}{22}-\frac{x}{23}+\frac{25}{23}=\frac{x}{506}+\frac{25}{23}$ и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом $k=\frac{1}{506}$. Значит, эта функция возрастает и достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при x = 22. Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Решение 2

Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет $\frac{1}{22}$ от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек ― $\frac{1}{23}$ от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет, поскольку $\frac{1}{22} >\frac{1}{23}$. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Правильный ответ

В одном классе ― 22 девочки, в другом ― $25-22=3$ девочки и 20 мальчиков.

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Решение квадратных уравнений
  4. Знаки тригонометрических функций
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 4 вариант
  6. Вебинар по задачам С1: тригонометрия