Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря

11 декабря 2011

Итак, 7 декабря состоялся очередной пробный ЕГЭ по математике. Как и в прошлый раз, ученикам предложили 16 вариантов — все они в ближайшее время будут опубликованы на сайте.

В целом, об экзамене можно сказать следующее:

  1. Сохраняется деление экзамена на варианты без логарифмов (но с производными) и без производных (но с логарифмами). Это связано с тем, что в школах параллельно существуют две программы: по одной из них производные проходят в 10 классе, а логарифмы — в 11, по другой — наоборот. Однако надо готовиться к тому, что уже в январе—феврале 2012 года во всех вариантах будут и логарифмы, и производные;

  2. Новые варианты стали очень похожими друг на друга, условия задач практически совпадают — отличаются лишь числа и, собственно, ответы. С одной стороны, это хорошо, поскольку все ученики находятся в примерно равных условиях. Но с другой стороны, ничего хорошего в этом нет, поскольку настоящие варианты будут существенно (очень существенно!) отличаться друг от друга;

  3. Как ни странно, появились новые задачи, которые ранее вообще не рассматривались — нигде и никогда. В первую очередь это касается теории вероятностей, о чем я расскажу чуть ниже. Подобные «нововведения» сводят на нет всю работу по унификации вариантов.

Выводы: существенных изменений в новых тренировочных вариантах нет. Сами варианты стали более похожими друг на друга, однако в некоторых из них появились новые задачи, с которыми большинство учеников однозначно не справятся.

Теперь разберем конкретные задачи, особенно «новичков» в теории вероятностей.

Задача B1: почем литр бензина

Согласно спецификациям ЕГЭ по математике, B1 — это задача с практическим содержанием. В нашем случае клиент покупает бензин и получает сдачу. Требуется найти либо размер этой сдачи, либо объем купленного бензина.

Чтобы решить такую задачу, важно знать всего один факт — назовем его законом умножения. Если известна стоимость одного литра бензина p и количество покупаемых литров n, то суммарные расходы составят p · n. Например, если 1 литр стоит 28 рублей, а мы хотим купить 15 литров, то придется заплатить 28 · 15 = 420 рублей.

Кроме того, следует раз и навсегда усвоить, что такое сдача. Задумайтесь: когда вы идете в ларек и покупаете бутылку водки за 350 рублей, но в кармане есть лишь купюра в 1000 рублей, то кассир вернет вам 1000 − 350 = 650 рублей. Это и есть сдача — разность между фактической стоимостью покупки и той суммой, которую вы заплатили. Сдача всегда выражается положительным числом.

Задача. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 22 литра бензина по цене 31 руб. 80 коп. за литр. Какую сдачу клиент должен получить у кассира? Ответ выразите в рублях.

Для начала выразим цену бензина в рублях (без копеек): 31 руб. 80 коп. — это 31,8 рублей.

Итак, один литр стоит 31,8 рублей. Тогда 22 литра стоят 22 · 31,8 = 699,6 рублей. Но клиент отдал кассиру 1000 рублей, поэтому он должен получить сдачу в размере 1000 − 699,6 = 300,4 рубля. Это и есть ответ — переводить число обратно в копейки не требуется.

Задача. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина — 30 руб. 30 коп. за литр. Сдачи клиент получил 303 руб. 10 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

Снова переведем все цены в рубли: 30 руб. 30 коп — это 30,3 рубля; 303 руб. 10 коп. — это 303,1 рубля.

Теперь смотрим на условие задачи. Если клиент отдал кассиру 1000 рублей, а сдачи получил 303,1 рубля, то фактические расходы (цена покупки) составят 1000 − 303,1 = 696,9 рублей.

Поскольку 1 литр бензина стоит 30,3 рубля, то на 696,9 рублей можно купить 696,9 : 30,3 = 23 литра. Это и есть ответ.

Задача B3: учимся резать пиццу. Без клеточек

Как я и предполагал, в некоторых задачах B3 предлагалось найти площадь многоугольника, заданного координатами своих вершин. При этом координатной сетки на чертеже не было. В других задачах требовалось найти площади секторов.

Задачи с многоугольниками решаются элементарно — достаточно построить описанный прямоугольник (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке»). Как работать с секторами, мы тоже знаем (см. урок «Площадь круга»), правда, в этот раз составители задач предложили более изощренные конструкции.

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 16. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь закрашенного сектора

Разрежем круг на 8 равных секторов, как пиццу. Площадь каждого сектора составит 16 : 8 = 2 (см. чертеж).

Разделение круга на 8 секторов

Очевидно, закрашенная часть состоит из 6 таких секторов, поэтому ее площадь равна 6 · 2 = 12.

Задача. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1; 1), (10; 1), (7; 9), (2; 9)

Трапеция без координатной сетки

Очевидно, что это трапеция, поэтому можно считать по формуле площади трапеции. Но мы пойдем по традиционному пути: построим описанный прямоугольник и отметим длины всех отрезов. Получим следующую картинку:

Трапеция и описанный многоугольник

Осталось найти общую площадь прямоугольника S, а также площади треугольников S1 и S2, которые надо вырезать:
S = 9 · 8 = 72;
S1 = 0,5 · 1 · 8 = 4;
S2 = 0,5 · 3 · 8 = 12;
Sисх = S − (S1 + S2) = 72 − (4 + 12) = 56.

Задача B7: тригонометрия

Абсолютно стандартная задача на вычисление тригонометрических функций и работу с координатной окружностью. Большинство ошибок пришлось на варианты, в которых требовалось найти тангенс или котангенс, поскольку в самом конце решения таких задач возникают многоэтажные дроби.

К сожалению, большинство учеников 11 класса до сих пор не умеют работать с многоэтажными дробями. Однако виноват в этом только учитель. Удивительно, но большинство школьных преподавателей математики сами не умеют вычислять такие дроби (см. урок «Сложные выражения с дробями. Порядок действий»).

Лично я считаю, что таких людей нельзя допускать к работе в школе. Учитель математики, который не умеет работать с многоэтажными дробями, должен быть немедленно дисквалифицирован и отправлен на рудники — копать уран.

Если у вас также возникают проблемы с многоэтажными дробями, просто изучите урок, приведенный выше, а затем пройдите прилагающиеся к нему тесты. Поверьте, ничего сложного в этих дробях нет.

Задача B10: Петя со своими монетами

Задачи по теории вероятностей всегда отличались разнообразием, но в этот раз составители, похоже, превзошли сами себя. Например, в некоторых вариантах требовалось округлить полученный ответ до сотых. В противном случае получалась бесконечная десятичная дробь. Вот только найти эту дробь большинство учеников сможет лишь при помощи калькулятора, который запрещено использовать на ЕГЭ по математике.

Но округление — это еще полбеды. Гораздо интереснее выглядят задачи про монеты, которые появились в тренировочных вариантах впервые. Для решения таких задач требуется знать, что такое биноминальные коэффициенты — и в ближайшее время мы обязательно рассмотрим эту тему. А пока ограничимся разбором двух конкретных задач из вариантов 1 и 4 (без логарифмов):

Задача. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

Поскольку обе двухрублевые монеты оказались в одном кармане, то возможны 2 варианта: либо Петя их вообще не перекладывал, либо переложил сразу обе.

В первом случае, когда двухрублевые монеты не перекладывались, придется переложить 3 монеты по рублю. Поскольку всего таких монет 4, число способов это сделать равно числу сочетаний из 4 по 3: C43.

Во втором случае, когда обе двухрублевые монеты были переложены, придется переложить еще одну рублевую монету. Ее надо выбрать из 4 существующих, и число способов так поступить равно числу сочетаний из 4 по 1: C41.

Теперь найдем число способов переложить монеты. Поскольку всего монет 4 + 2 = 6, а выбрать надо лишь 3 из них, общее число вариантов равно числу сочетаний из 6 по 3: C63.

Осталось найти вероятность:

Вычисление вероятности

При этом число сочетаний из b по a рассчитывается по формуле, которую обязательно надо знать наизусть:

Формула: число сочетаний из b по a

Задача. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Чтобы пятирублевые монеты лежали в разных карманах, надо переложить только одну из них. Количество способов это сделать равно числу сочетаний из 2 по 1: C21.

Поскольку всего Петя переложил 3 монеты, придется переложить еще 2 монеты по 10 рублей. Таких монет у Пети 4, поэтому количество способов равно числу сочетаний из 4 по 2: C42.

Осталось найти, сколько всего есть вариантов переложить 3 монеты из 6 имеющихся. Это количество, как и в предыдущей задаче, равно числу сочетаний из 6 по 3: C63.

Находим вероятность:

Вычисление вероятности независимых событий

В последнем шаге мы умножали число способов выбрать двухрублевые монеты и число способов выбрать десятирублевые, поскольку данные события независимы.

Отмечу, что сумма вероятностей оказалась равна 0,4 + 0,6 = 1. Действительно, количество монет в обеих задачах совпадает, а две монеты могут лежать либо в одном кармане, либо в разных — третьего не дано.

Этот факт подтверждает правильность ответов, однако решение получилось далеко не тривиальным и требующим очень хорошего знания теории вероятностей. Большинство школьников такими знаниями не обладает.

Замечания по части C

Задача C1, в которой предлагается решить сложное тригонометрическое уравнение, немного переформулирована и теперь состоит из двух пунктов:

  1. Собственно, решить тригонометрическое уравнение;
  2. Найти корни, принадлежащие заданному отрезку.

Остальные задачи перекочевали из предыдущего пробного ЕГЭ практически без изменений. Задача C6 осталась такой же легкой и не идет ни в какое сравнение с настоящими C6, которые встречаются в ЕГЭ по математике.

Смотрите также:
  1. Что такое ЕГЭ по математике 2012
  2. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
  3. Системы линейных уравнений: основные понятия
  4. Площадь круга
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 6 вариант
  6. Задача B5: площадь закрашенного сектора