Площади многоугольников на координатной сетке

5 февраля 2011

Многоугольники на координатной сетке — это самые простые задачи B5. Существует сразу несколько методов решения таких задачи, в том числе универсальный, описанный ниже. Для начала определимся с терминологией:

Многоугольник — фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Большинство многоугольников, встречающихся в ЕГЭ, являются выпуклыми, т.е. не имеют внутренних углов размером больше 180°, а все вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Кроме того, ломаная, ограничивающая многоугольник, не имеет самопересечений. Все это значительно упрощает задачу.

Для решения всех задач этого типа достаточно выполнить четыре простых шага:

  1. Описать вокруг многоугольника прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат (линиям сетки). При этом желательно, чтобы на каждой стороне прямоугольника присутствовала хотя бы одна вершина исходной фигуры;
  2. Разбить внутреннее пространство прямоугольника, не занятое исходной фигурой, на квадраты и треугольники. Лучше, если все линии разбиения будут параллельны осям координат;
  3. Найти площадь каждого элемента разбиения. Сложив эти площади, получим площадь всего разбиения;
  4. Наконец, из площади прямоугольника вычесть площадь разбиения — это и будет площадью исходной фигуры.

Несмотря на большое количество элементов разбиения, вычисление его площади — достаточно тривиальная задача.

Проиллюстрируем каждый шаг решения:

Общая схема построения разбиения

Последним шагом найдем площадь исходной фигуры: Sисх = S − (S1 + S2 + S3 + S4 + S5), где S площадь описанного прямоугольника. Осталось вычислить площадь большого прямоугольника и элементов разбиения. Эти несложные расчеты предлагается выполнить читателю в качестве упражнения.

Задача. Найти площадь треугольника ABC, изображенного на рисунке:

Треугольник ABC

Обозначение треугольника можно опустить, поскольку оно нам не потребуется. Приведем первые три шага:

Разбиение треугольника ABC

Итак, Sисх = S − (S1 + S2 + S3), где S площадь описанного прямоугольника. Найдем площадь элементов разбиения:

S1 = ½ · 1 · 5 = 2,5; S2 = ½ · 3 · 4 = 6; S3 = ½ · 1 · 4 = 2; S = 5 · 4 = 20.

Наконец, найдем площадь треугольника: Sисх = 20 − (2,5 + 6 + 2) = 9,5.

Задача. Найти площадь треугольника ABC, изображенного на рисунке:

Треугольник ABC

Снова выполняем первые три шага. Заметим, что угол ABC — тупой, поэтому в разбиении присутствует квадрат. Имеем:

Разбиение треугольника ABC

Очевидно, Sисх = S − (S1 + S2 + S3 + S4), где S площадь описанного прямоугольника. Найдем площадь элементов разбиения:

S1 = ½ · 5 · 5 = 12,5; S2 = ½ · 4 · 1 = 2; S3 = ½ · 1 · 4 = 2; S4 = 1 · 1 = 1; S = 5 · 5 = 25.

Площадь треугольника: Sисх = 25 − (12,5 + 2 + 2 + 1) = 7,5.

Смотрите также:
  1. Задача B5: вычисление площади методом обводки
  2. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
  3. Дополнительные соображения
  4. Сравнение дробей
  5. Специфика работы с логарифмами в задаче B15
  6. Текстовые задачи про рельсы