Площадь круга в задаче B5

20 октября 2011

Окружности требуют более аккуратного подхода и встречаются в заданиях B5 гораздо реже. Вместе с тем, общая схема решения даже проще, чем в случае с многоугольниками (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке»).

Все, что требуется в таких заданиях — это найти радиус окружности R. Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR2. Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R2.

Чтобы найти указанные величины, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А затем воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры вычисления радиуса:

Задача. Найти радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

Окружности на координатной сетке

Выполним дополнительные построения в каждой окружности:

Радиусы окружностей на координатной сетке

В каждом случае точка B выбрана на окружности таким образом, чтобы лежать на пересечении линий сетки. Точка C в окружностях 1 и 3 дополняют фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора: R2 = AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 22 = 8.

Для второй окружности все очевидно: R = AB = 2.

Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора: R2 = AB2 = AC2 + BC2 = 12 + 22 = 5.

Теперь мы знаем, как искать радиус окружности (или хотя бы его квадрат). А следовательно, можем найти площадь. Встречаются задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всего круга. В таких случаях легко выяснить, какую часть круга составляет этот сектор, и таким образом найти площадь.

Задача. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S/π.

Сектор в окружности

Очевидно, сектор составляет одну четверть круга. Следовательно, S = 0,25 · Sкруга.

Остается найти Sкруга — площадь круга. Для этого выполним дополнительное построение:

Вычисление радиуса окружности

Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: R2 = AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 22 = 8.

Теперь находим площади круга и сектора: Sкруга = πR2 = 8π; S = 0,25 · Sкруга = 2π.

Наконец, искомая величина равна S/π = 2.

Площадь сектора при неизвестном радиусе

Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010—2011 годах не было. По условию, нам дан круг определенной площади (именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого и требуется найти.

Хорошая новость состоит в том, что подобные задачи — самые легкие из всех задач на площади, которые бывают в ЕГЭ по математике. К тому же, круг и сектор всегда помещается на координатную сетку. Поэтому, чтобы научиться решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

Разделение круга на 8 равных частей

Пусть исходный круг имеет площадь Sкруга = 80. Тогда его можно разделить на два сектора площадью S = 40 каждый (см. 2 шаг). Аналогично, каждый из этих секторов-«половинок» можно снова разделить пополам — получим четыре сектора площадью S = 20 каждый (см. 3 шаг). Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два — получим 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из этих «ошметков» составит S = 10.

Обратите внимание: более мелкого разбиения ни в одной задаче ЕГЭ по математике нет! Таким образом, алгоритм решения задачи B-3 следующий:

  1. Разрезать исходный круг на 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из них составляет ровно 1/8 часть площади всего круга. Например, если по условию круг имеет площадь Sкруга = 240, то «ошметки» имеют площадь S = 240 : 8 = 30;
  2. Выяснить, сколько «ошметков» помещается в исходном секторе, площадь которого требуется найти. Например, если в нашем секторе помещается 3 «ошметка» площадью 30, то площадь искомого сектора равна S = 3 · 30 = 90. Это и будет ответ.

Вот и все! Задача решается практически устно. Если все равно что-то непонятно, купите пиццу и порежьте ее на 8 кусков. Каждый такой кусок будет тем самым сектором-«ошметком», которые можно объединить в более крупные куски.

А теперь разберем примеры из пробного ЕГЭ:

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Круг площадью 40

Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов — каждый площадью S = 40 : 5 = 8. Получим:

8 секторов площадью 5 каждый

Очевидно, закрашенный сектор состоит ровно из двух секторов-«ошметков». Следовательно, его площадь равна 2 · 5 = 10. Вот и все решение!

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Круг площадью 64

Снова разделим весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного их них как раз и требуется найти. Следовательно, его площадь равна S = 64 : 8 = 8.

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 48. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Круг площадью 48

Опять разделим круг на 8 равных секторов. Площадь каждого из них равна S = 48 : 8 = 6. В искомом секторе помещается ровно три сектора-«ошметка» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3 · 6 = 18.

8 секторов площадью 6 каждый
Дополнительно:
  1. Решение задач B1: № 1—16
  2. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
  3. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 3 (без логарифмов)
  5. Не пишите единицы измерения в задаче B12
  6. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках