Показательные функции в задаче B15

28 апреля 2012

По определению, показательная функция — это выражение вида y = ax, где a > 0. Но в задаче B15 встречаются только функции вида y = ex. В крайнем случае, y = ekx + b. Причина в том, что производные этих функций считаются очень легко:

(ex)’ = ex;
(ekx + b)’ = k · ekx + b.

Как видите, если в показателе стоит просто переменная x, ничего не меняется. А если там будет линейное выражение вида kx + b, то спереди добавляется множитель k. Эта формула — частный случай производной сложной функции.

Задачи на вычисление наибольшего/наименьшего значения

Все задачи B15 с показательной функцией решаются по стандартной схеме — см. «Общая схема решения задач B15». Но если требуется найти наименьше/наибольшее значение функции, есть одна фишка:

Показатель должен быть равен нулю. Потому что e0 = 1 — нормальное число, его можно записать в ответ. В отличие от чисел e1, e2, которые вообще не представимы в виде десятичной дроби.

Данное замечание реально сокращает объем вычислений. Аналогичное правило есть у логарифмов — см. «Как считать логарифмы еще быстрее». И это вполне логично, поскольку логарифмы и показательные функции — родственные объекты.

А теперь разберем конкретные задачи.

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−1; 5]:

y = (x2 − 5x + 5)ex − 3

Сначала находим производную и раскладываем ее на множители:

y’ = ((x2 − 5x + 5)ex − 3)’ = ... = (x2 − 3x)ex − 3 = x(x − 3)ex − 3

Затем приравниваем полученное выражение к нулю и находим корни:

x(x − 3)ex − 3 = 0;
x1 = 0; x2 = 3.

Оба корня принадлежат отрезку [−1; 5]. Итого получаем четыре точки: два корня и два конца отрезка. Осталось вычислить значение функции в этих точках:

y(−1) = ((−1)2 − 5 · (−1) + 5)e−1 − 3 = ... = 11e−4;
y(0) = (02 − 5 · 0 + 5)e0 − 3 = ... = 5e−3;
y(3) = (32 − 5 · 3 + 5)e3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (52 − 5 · 5 + 5)e5 − 3 = ... = 5e2.

Заметим, что из этих четырех чисел в бланк можно записать только y = −1. Кроме того, это единственное отрицательное число. Следовательно, это число и будет наименьшим.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 6]:

y = (2x − 7)e8 − 2 · x

Как и в прошлый раз, вычисляем производную функции и раскладываем ее на множители:

y’ = (y = (2x − 7)e8 − 2 · x)’ = ... = (16 − 4x)e8 − 2 · x = 4(4 − x)e8 − 2 · x

Приравниваем производную к нулю и находим корни:

y’ = 0;
4(4 − x)e8 − 2 · x = 0;
x = 4.

Корень x = 4 принадлежит отрезку [0; 6]. Мы ищем наибольшее значение, поэтому подставляем этот корень, а также концы отрезка в исходную функцию. Имеем:

y(0) = (2 · 0 − 7)e8 − 2 · 0 = ... = −7e8;
y(4) = (2 · 4 − 7)e8 − 2 · 4 = ... = 1;
y(6) = (2 · 6 − 7)e8 − 2 · 6 = ... = 5e−4.

Итак, ответом может быть только число y = 1.

Задачи на вычисление точек максимума/минимума

В задачах на точки максимума/минимума нельзя применять приведенное выше правило, поэтому считаем все по стандартной схеме.

Задача. Найдите точку минимума функции:

y = (x − 12)ex − 11

В первую очередь считаем производную:

y’ = (y = (x − 12)ex − 11)’ =
= (x − 12)’ · ex − 11 + (x − 12) · (ex − 11)’ =
= 1 · ex − 11 + (x − 12)ex − 11 =
= (1 + x − 12)ex − 11 =
= (x − 11)ex − 11

Приравниваем производную к нулю:

y’ = 0;
(x − 11)ex − 11 = 0;
x − 11 = 0;
x = 11.

Множитель ex − 11 никогда не равен нулю, поэтому мы избавились от него. Осталось начертить координатную ось и расставить знаки производной:

Производная показательной функции

Итак, в точке x = 11 знак производной меняется с минуса на плюс. Считаем всегда в направлении оси — слева направо. Значит, x = 11 — это точка минимума.

Задача. Найдите точку максимума функции:

y = (2x2 − 34x + 34)e6 − x

Снова считаем производную:

y’ = ((2x2 − 34x + 34)e6 − x)’ =
= (2x2 − 34x + 34)’ · e6 − x + (2x2 − 34x + 34) · (e6 − x)’ =
= (4x − 34)e6 − x + (2x2 − 34x + 34) · (−1) · e6 − x

Напомню, что производная сложной показательной функции считается по формуле:

(ekx + b)’ = k · ekx + b;
(e6 − x)’ = (−1) · e6 − x.

Производная получилась довольно навороченная. Разложим ее на множители, для этого вынесем e6 − x за скобку. Имеем:

(4x − 34)e6 − x + (2x2 − 34x + 34) · (−1) · e6 − x =
= e6 − x · (4x − 34 − 2x2 + 34x − 34) =
= e6 − x · (−2x2 + 38x − 68)

Приравниваем полученное выражение к нулю:

e6 − x · (−2x2 + 38x − 68) = 0;
−2x2 + 38x − 68 = 0;
x2 − 19x + 34 = 0;
...
x1 = 17; x2 = 2.

Множитель e6 − x снова можно безболезненно убрать, поскольку он никогда не равен нулю. Осталось отметить полученные точки и знаки производной на координатной прямой:

Производная: 2 корня

Обратите внимание: на рисунке отмечены знаки производной функции: y = e6 − x · (−2x2 + 38x − 68) — а вовсе не многочлена x2 − 19x + 34, как думают некоторые ученики. В скобках стоит квадратичная функция, ее график — парабола ветвями вниз, поскольку a = −2 < 0.

В точке x = 17 знак производной меняется с плюса на минус. Значит, это точка максимума, что и требовалось найти.

Смотрите также:
  1. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией
  2. Специфика работы с логарифмами в задаче B15
  3. Решение квадратных уравнений
  4. Радианная и градусная мера угла
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Задача B5: метод узлов