Общая схема решения задач B15

30 марта 2012

Все задачи B15, которые встречаются в ЕГЭ по математике, делятся на два типа:

  1. Задачи на поиск максимального или минимального значения функции на отрезке. Иногда отрезок не задан — в этом случае работаем на всей числовой прямой;
  2. Задачи на точку максимума/минимума. Решаются чуть проще, зато функции здесь намного разнообразнее.

У каждого из них свои алгоритмы решения, которые будут рассмотрены ниже. Но в любом случае, чтобы решить задачу B15, учитесь считать производную — см. «Производная». Без производных здесь делать нечего.

Задачи на максимальное/минимальное значение

Если в задаче B15 требуется найти максимальное или минимальное значение функции f (x) на отрезке [a; b], выполняем следующие действия:

  1. Найти производную функции: f ’(x);
  2. Решить уравнение f ’(x) = 0. Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому;
  3. Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка [a; b]. Оставшиеся числа обозначим x1, x2, ..., xn их, как правило, будет немного;
  4. Подставим концы отрезка [a; b] и точки x1, x2, ..., xn в исходную функцию. Получим набор чисел f (a), f (b), f (x1), f (x2), ..., f (xn), из которого выбираем наибольше или наименьшее значение — это и будет ответ.

Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Такое вполне может встретиться на настоящем экзамене. Эти точки можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию — даже если уравнение f ’(x) = 0 не имело решений.

Также следует внимательно читать условие задачи. Когда требуется найти значение функции (максимальное или минимальное), концы отрезка и точки x1, x2, ..., xn подставляются именно в функцию, а не в ее производную.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−5; 0]:

y = x3 + 3x2 − 9x − 7

Для начала найдем производную:

y’ = (x3 + 3x2 − 9x − 7)’ = 3x2 + 6x − 9

Затем приравняем ее к нулю:

y’ = 0;
3x2 + 6x − 9 = 0;
...
x1 = −3; x2 = 1.

Вычеркиваем корень x = 1, поскольку он не принадлежит отрезку [−5; 0]. Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3. Имеем:

y(−5) = (−5)3 + 3 · (−5)2 − 9 · (−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3)3 + 3 · (−3)2 − 9 · (−3) − 7 = 20;
y(0) = 03 + 3 · 02 − 9 · 0 − 7 = −7.

Очевидно, что наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке x = −3.

Задачи на точки максимума/минимума

Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимума функции f (x) на отрезке [a; b]. Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова:

  1. Найти производную функции: f ’(x);
  2. Решить уравнение f ’(x) = 0. Если производная — дробно-рациональная функция, дополнительно выясняем, когда ее знаменатель равен нулю. Полученные корни обозначим x1, x2, ..., xn;
  3. Отметить x1, x2, ..., xn на координатной прямой и расставить знаки, которые принимает производная между этими числами. Если задан отрезок [a; b], отмечаем его и вычеркиваем все, что лежит за его пределами;
  4. Среди оставшихся точек ищем ту, где знак производной меняется с минуса на плюс (это точка минимума) или с плюса на минус (точка максимума). Такая точка должна быть только одна — это и будет ответ.

В целом, задачи на точки максимума/минимума считаются даже проще, чем задачи на поиск наименьшего/наибольшего значения. Это происходит хотя бы из-за того, что здесь не надо считать значение функции в конкретных точках. Статистика свидетельствует, что именно на этом шаге ученики допускают больше всего ошибок.

Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм не работает. Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются.

Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками x1, x2, ..., xn. Помните: при переходе через корень четной кратности знак производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки читают слева направо, т.е. по направлению числовой оси.

Задача. Найдите точку максимума функции на отрезке [−10; −1]:

Исходная функция

Найдем производную:

Производная функции

Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю числитель:

y’ = 0;
x2 − 25 = 0;
...
x1 = 5; x2 = −5.

Получили два корня. Теперь приравниваем к нулю знаменатель:

x2 = 0;
x = 0.

Получили x = 0 — корень второй кратности. При переходе через него знак производной не меняется. Осталось отметить точки x = −5; x = 0; x = 5 на координатной прямой, а затем расставить знаки и границы. Имеем:

Знаки производной

Очевидно, что внутри отрезка останется лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.

Еще раз поясню, чем отличаются точка экстремума от самого экстремума. Точка экстремума это значение переменной, при которой

функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремум это значение самой функции, максимальное или минимальное в некоторой окрестности.

Смотрите также:
  1. Задача B15 — исследование функции с помощью производной
  2. Задача B15: Решение сложных задач и производная частного
  3. Как помочь школьнику изучать математику
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 9 (без логарифмов)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 6 вариант
  6. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора