Типичные задачи B12 с функциями

5 января 2012

Сегодня мы рассмотрим типичные задачи B12, которые сводятся к работе с функциями. Речь пойдет о функциях в «чистом» виде — без дополнительных параметров и аргументов. Подобных задач не так много, поэтому урок будет коротким, но содержательным.

Говоря простым языком, функции — это когда одна переменная зависит от другой. В задаче B12 функции всегда задаются формулами и обозначаются разными буквами: f(x), h(t), m(t)...

Как решать такие задачи? Многие учителя рекомендуют сводить функцию к уравнениям и неравенствам, а затем решать их. Можно и так, но есть способ проще. Итак, всего три шага:

Найти в тексте задачи, чему должна быть равна функция. Пусть это будет число K.
Решить уравнение f(x) = K. Ну, или h(t) = K — в зависимости от того, как называется функция.
Если корень один — это и есть ответ. Если корней два и более — надо немного подумать. Например, время не может быть отрицательным, масса — нулевой, и так далее.

Функции в задаче B12 всегда очень простые, поэтому чаще всего проблемы возникают на третьем шаге. Но это лечится обыкновенной тренировкой.

Задача. Высота, на которой находится камень, брошенный с земли вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 2 + 12t − 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 6 метров?

Из условия следует, что надо решить уравнение h(t) = 6. Получаем обычное квадратное уравнение:

2 + 12t − 5t² = 6;
5t² − 12t + 4 = 0 — собрали все с одной стороны;
... (решаем обычное квадратное уравнение)
t₁ = 0,4; t₂ = 2.

Итак, у нас два корня. Что это значит? В момент времени t₁ = 0,4 камень был на высоте 6 метров, затем — очевидно, больше 6, и, наконец, в момент t₂ = 2 снова 6 метров. Короче говоря, в период с t₁ = 0,4 до t₂ = 2 камень находился на высоте более 6 метров. Найдем длину отрезка времени l:

l = t₂ − t₁ = 2 − 0,4 = 1,6.

Задача. Камень брошен вниз с высоты 24 метра. Пока камень не упал, его высоту можно находить по формуле h(t) = 24 − 7t − 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет падать?

Что значит, что камень упал? Это означает, что его высота над поверхностью земли стала равна нулю. Итак, надо решить уравнение h(t) = 0. Имеем:

24 − 7t − 5t² = 0 — обычное квадратное уравнение;
... (решаем квадратное уравнение)
t₁ = 1,6; t₂ = −3;

Очевидно, корень t₁ = −3 нам не подходит, поскольку время не может быть отрицательным. Поэтому камень будет падать 1,6 секунды.

Почему-то в последней задаче многие (на самом деле, почти все) хотят решить уравнение h(t) = 24. Аргументация такая: мол, число 24 встречается в тексте, да еще и в самом начале. Так вот: это число не имеет никакого отношения к решению. Вообще. А требуемое значение функции надо искать в вопросе.

В самом деле, сколько секунд камень будет падать? Ну, до тех пор, пока не упадет. А что значит, что камень упал? Это значит, что его высота над землей равна нулю. Вот такие неслабые размышления.

Когда искомое значение функции определено, решить задачу не составит труда. В заключение рассмотрим еще 2 типовые задачи, которые любят давать на пробных экзаменах, и которые вполне могут встретиться на настоящем ЕГЭ.

Задача. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону:

H(t) = 5 − 1,6t + 0,128t²

где t — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Эта задача очень похожа на предыдущую — про камень, брошенный с высоты 24 метра. Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба не станет равной нулю. Поэтому H(t) = 0. Подставляем это значение в функцию и решаем уравнение:

0 = 5 − 1,6t + 0,128t²;
0 = 625 − 200t + 16t² — умножили все на 125;
16t² − 200t + 625 = 0 — стандартное квадратное уравнение;

Поскольку коэффициенты получились неслабые, причем a = 16 ≠ 0, работаем через дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений»). Имеем:

D = b² − 4ac = (−200)² − 4 · 16 · 625 = 40 000 − 40 000 = 0 — уравнение имеет ровно 1 корень.
t = −b : (2a) = −(−200) : (2 · 16) = 200 : 32 = 6,25.

Таким образом, вода перестанет вытекать из бака через 6,25 минуты — это и есть ответ.

Задача. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = −5t², где t измеряется в секундах, а h — в метрах.

До дождя время падения камушков составляло 1,4 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,1 секунды? Ответ выразите в метрах.

Это немного нестандартная задача с функцией. По условию, аргумент t может принимать 2 значения:

t₁ = 1,4 — исходное, дано в условии задачи;
t₂ = 1,4 − 0,1 = 1,3 — новое значение.

Теперь подставим эти значения в функцию h(t). Так мы найдем расстояние от верхней кромки колодца до поверхности воды до и после дождя. Имеем:

h(t₁) = −5 · (1,4)² = ... = −9,8;
h(t₂) = −5 · (1,3)² = ... = −8,45.

Итак, есть два значения: −9,8 метра и −8,45 метра. Если вычесть из большей высоты меньшую, получим искомую минимальную высоту Δh, на которую должен подняться уровень воды:

Δh = −8,45 − (−9,8) = 9,8 − 8,45 = 1,35 — это и есть ответ.

Небольшое пояснение к последней задаче. Откуда взялось число t₂ = 1,3? По условию, уровень воды повышается, а значит, расстояние от воды до верхней кромки колодца становится меньше. Следовательно, уменьшается и время полета камня.

Именно поэтому мы уменьшаем исходное время (t₂ = 1,4 − 0,1 = 1,3), а ни в коем случае не увеличиваем его. Понять это — вот основная трудность подобных задач.

span class=

Смотрите также: