Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения

15 сентября 2013

Сегодня мы займемся однородными тригонометрическими уравнениями. Для начала разберемся с терминологией: что такое однородное тригонометрическое уравнение. Оно имеет следующие характеристики:

  1. в нем должно быть несколько слагаемых;
  2. все слагаемые должны иметь одинаковую степень;
  3. все функции, входящие в однородное тригонометрическое тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент.

Алгоритм решения

Выделим слагаемые

И если с первым пунктом все понятно, то о втором стоить поговорить поподробней. Что значит одинаковая степень слагаемых? Давайте рассмотрим первую задачу:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Первое слагаемое в этом уравнении —3cosx3\cos x. Обратите внимание, здесь есть только одна тригонометрическая функция — cosx\cos x — и больше никаких других тригонометрических функций здесь не присутствует, поэтому степень этого слагаемого равна 1. То же самое со вторым — 5sinx5\sin x — здесь присутствует только синус, т. е. степень этого слагаемого тоже равна единице. Итак, перед нами тождество, состоящее из двух элементов, каждое из которых содержит тригонометрическую функцию, и при этом только одну. Это уравнение первой степени.

Переходим ко второму выражению:

4sin2x+sin2x−3=0

4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0

Первый член этой конструкции — 4sin2x4{{\sin }^{2}}x.

Теперь мы можем записать следующее решение:

sin2x=sinx⋅sinx

{{\sin }^{2}}x=\sin x\cdot \sin x

Другими словами, первое слагаемое содержит две тригонометрические функции, т. е. его степень равна двум. Разберемся со вторым элементом — sin2x\sin 2x. Вспомним такую формулу — формулу двойного угла:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

И опять, в полученной формуле у нас есть две тригонометрические функции — синус и косинус. Таким образом, степенное значение этого члена конструкции тоже равно двум.

Переходим к третьему элементу — 3. Из курса математики средней школы мы помним, что любое число можно умножать на 1, так и запишем:

˜3=3⋅1

˜3=3\cdot 1

А единицу с помощью основного тригонометрического тождества можно записать в следующем виде:

1=sin2x⋅cos2x

1={{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x

Следовательно, мы можем переписать 3 в следующем виде:

3=3(sin2x⋅cos2x)=3sin2x+3cos2x

3=3\left( {{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x \right)=3{{\sin }^{2}}x+3{{\cos }^{2}}x

Таким образом, наше слагаемое 3 разбилось на два элемента, каждый из которых является однородным и имеет вторую степень. Синус в первом члене встречается дважды, косинус во втором — тоже дважды. Таким образом, 3 тоже может быть представлено в виде слагаемого со степенным показателем два.

С третьим выражением то же самое:

sin3x+sin2xcosx=2cos3x

{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{3}}x

Давайте посмотрим. Первое слагаемое — sin3x{{\sin }^{3}}x — это тригонометрическая функция третьей степени. Второй элемент — sin2xcosx{{\sin }^{2}}x\cos x.

sin2{{\sin }^{2}} — это звено со степенным значением два, умноженное на cosx\cos x — слагаемое первой. Итого, третий член тоже имеет степенное значение три. Наконец, справа стоит еще одно звено — 2cos3x2{{\cos }^{3}}x — это элемент третьей степени. Таким образом, перед нами однородное тригонометрическое уравнение третьей степени.

У нас записано три тождества разных степеней. Обратите внимание еще раз на второе выражение. В исходной записи у одного из членов присутствует аргумент 2x2x. Мы вынуждены избавиться от этого аргумента, преобразовав его по формуле синуса двойного угла, потому что все функции, входящие в наше тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент. И это требование для однородных тригонометрических уравнений.

Используем формулу основного тригонометрического тождества и записываем окончательное решение

С терминами мы разобрались, переходим к решению. Независимо от степенного показателя, решение равенств такого типа всегда выполняется в два шага:

1) доказать, что

cosx≠0

\cos x\ne 0. Для этого достаточно вспомнить формулу основного тригонометрического тождества (sin2x⋅cos2x=1)\left( {{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x=1 \right) и подставить в эту формулу cosx=0\cos x=0. Мы получим следующее выражение:

sin2x=1sinx=±1

\begin{align}& {{\sin }^{2}}x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end{align}

Подставляя полученные значения, т. е. вместо cosx\cos x — ноль, а вместо sinx\sin x — 1 или -1, в исходное выражение, мы получим неверное числовое равенство. Это и является обоснованием того, что

cosx≠0

\cos x\ne 0.

2) второй шаг логичным образом вытекает из первого. Поскольку

cosx≠0

\cos x\ne 0, делим обе наши стороны конструкции на cosnx{{\cos }^{n}}x, где nn — то само степенной показатель однородного тригонометрического уравнения. Что это нам дает:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin{align}& \frac{\sin x}{\cos x}=tgx \\& \frac{\cos x}{\cos x}=1 \\\end{align} \\{} \\\end{array}\]

Благодаря этому наша громоздкая исходная конструкция сводится к уравнению nn-степени относительно тангенса, решение которой легко записать с помощью замены переменной. Вот и весь алгоритм. Давайте посмотрим, как он работает на практике.

Решаем реальные задачи

Задача №1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Мы уже выяснили, что это однородное тригонометрическое уравнение со степенным показателем, равным единице. Поэтому в первую очередь выясним, что cosx≠0\cos x\ne 0. Предположим противное, что

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Подставляем полученное значение в наше выражение, получаем:

3⋅0+5⋅(±1)=0±5=0

\begin{align}& 3\cdot 0+5\cdot \left( \pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end{align}

На основании этого можно сказать, что cosx≠0\cos x\ne 0. Разделим наше уравнение на cosx\cos x, потому что все наше выражение имеет степенное значение, равное единице. Получим:

3(cosxcosx)+5(sinxcosx)=03+5tgx=0tgx=−35

\begin{align}& 3\left( \frac{\cos x}{\cos x} \right)+5\left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac{3}{5} \\\end{align}

Это не табличное значение, поэтому в ответе будет фигурироватьarctgxarctgx:

x=arctg(35)+ π n,n∈Z

x=arctg\left( -\frac{3}{5} \right)+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z

Поскольку arctgarctg arctg— функция нечетная, «минус» мы можем вынести из аргумента и поставить его перед arctg. Получим окончательный ответ:

x=−arctg35+ π n,n∈Z

x=-arctg\frac{3}{5}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z

Задача №2

4sin2x+sin2x−3=0

4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0

Как вы помните, прежде чем приступить к его решению, нужно выполнить некоторые преобразования. Выполняем преобразования:

4sin2x+2sinxcosx−3(sin2x+cos2x)=04sin2x+2sinxcosx−3sin2x−3cos2x=0sin2x+2sinxcosx−3cos2x=0

\begin{align}& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)=0 \\& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\& {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\\end{align}

Мы получили конструкцию, состоящую из трех элементов. В первом члене мы видим sin2{{\sin }^{2}}, т. е. его степенное значение равно двум. Во втором слагаемом мы видим sinx\sin x и cosx\cos x — опять же функции две, они перемножаются, поэтому общая степень снова два. В третьем звене мы видим cos2x{{\cos }^{2}}x — аналогично первому значению.

Докажем, что cosx=0\cos x=0 не является решением данной конструкции. Для этого предположим противное:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left( \pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \\1=0 \\\end{array}\]

Мы доказали, что cosx=0\cos x=0 не может быть решением. Переходим ко второму шагу — делим все наше выражение на cos2x{{\cos }^{2}}x. Почему в квадрате? Потому что степенной показатель этого однородного уравнения равен двум:

sin2xcos2x+2sinxcosxcos2x−3=0tg2x+2tgx−3=0

\begin{align}& \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+2\frac{\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}-3=0 \\& t{{g}^{2}}x+2tgx-3=0 \\\end{align}

Можно ли решать данное выражение с помощью дискриминанта? Конечно можно. Но я предлагаю вспомнить теорему, обратную теореме Виета, и мы получим, что данный многочлен представим в виде двух простых многочленов, а именно:

(tgx+3)(tgx−1)=0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4+ π k,k∈Z

\begin{align}& \left( tgx+3 \right)\left( tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{align}

Многие ученики спрашивают, стоит ли для каждой группы решений тождеств писать отдельные коэффициенты или не заморачиваться и везде писать один и тот же. Лично я считаю, что лучше и надежнее использовать разные буквы, чтобы в случае, когда вы будете поступать в серьезный технический вуз с дополнительными испытаниями по математике, проверяющие не придрались к ответу.

Задача №3

sin3x+sin2xcosx=2cos3x

{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{3}}x

Мы уже знаем, что это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени, никакие специальные формулы не нужны, и все, что от нас требуется, это перенести слагаемое 2cos3x2{{\cos }^{3}}x влево. Переписываем:

sin3x+sin2xcosx−2cos3x=0

{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x-2{{\cos }^{3}}x=0

Мы видим, что каждый элемент содержит в себе три тригонометрические функции, поэтому это уравнение имеет степенное значение, равное трем. Решаем его. В первую очередь, нам нужно доказать, чтоcosx=0\cos x=0 не является корнем:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end{array}\]

Подставим эти числа в нашу исходную конструкцию:

(±1)3+1⋅0−2⋅0=0±1+0−0=0±1=0

\begin{align}& {{\left( \pm 1 \right)}^{3}}+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end{align}

Следовательно, cosx=0\cos x=0 не является решением. Мы доказали, что cosx≠0\cos x\ne 0. Теперь, когда мы это доказали, разделим наше исходное уравнение на cos3x{{\cos }^{3}}x. Почему именно в кубе? Потому что мы только что доказали, что наше исходное уравнение имеет третью степень:

sin3xcos3x+sin2xcosxcos3x−2=0tg3x+tg2x−2=0

\begin{align}& \frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}+\frac{{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{3}}x}-2=0 \\& t{{g}^{3}}x+t{{g}^{2}}x-2=0 \\\end{align}

Введем новую переменную:

tgx=t

tgx=t

Переписываем конструкцию:

t3+t2−2=0

{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=0

Перед нами кубическое уравнение. Как его решать? Изначально, когда я только составлял данный видеоурок, то планировал предварительно рассказать о разложении многочленов на множители и прочих приемов. Но в данном случае все намного проще. Взгляните, наше тождество приведенное, при слагаемом с наибольшей степенью стоит 1. Кроме того, все коэффициенты целые. А это значит, что мы можем воспользоваться следствием из теоремы Безу, которое гласит, что все корни являются делителями числа -2, т. е. свободного члена.

Возникает вопрос: на что делится -2. Поскольку 2 — число простое, то вариантов не так уж много. Это могут быть следующие числа: 1; 2; -1; -2. Отрицательные корни сразу отпадают. Почему? Потому что оба они по модулю больше 0, следовательно, t3{{t}^{3}} будет больше по модулю, чем t2{{t}^{2}}. А так как куб — функция нечетная, поэтому число в кубе будет отрицательным, а t2{{t}^{2}} — положительным, и вся эта конструкция, при t=−1t=-1 и t=−2t=-2, будет не больше 0. Вычитаем из него -2 и получаем число, которое заведомо меньше 0. Остаются лишь 1 и 2. Давайте подставим каждое из этих чисел:

˜t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text{ }1+1-2=0\to 0=0

Мы получили верное числовое равенство. Следовательно, t=1t=1 является корнем.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2t=2 не является корнем.

Согласно следствию и все той же теореме Безу, любой многочлен, чьим корнем является x0{{x}_{0}}, представим в виде:

Q(x)=(x=x0)P(x)

Q(x)=(x={{x}_{0}})P(x)

В нашем случае в роли xx выступает переменная tt, а в роли x0{{x}_{0}} — корень, равный 1. Получим:

t3+t2−2=(t−1)⋅P(t)

{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=(t-1)\cdot P(t)

Как найти многочлен P(t)P\left( t \right)? Очевидно, нужно сделать следующее:

P(t)=t3+t2−2t−1

P(t)=\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2}{t-1}

Подставляем:

t3+t2+0⋅t−2t−1=t2+2t+2

\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+0\cdot t-2}{t-1}={{t}^{2}}+2t+2

Итак, наш исходный многочлен разделился без остатка. Таким образом, мы можем переписать наше исходное равенство в виде:

(t−1)(t2+2t+2)=0

(t-1)({{t}^{2}}+2t+2)=0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель мы уже рассмотрели. Давайте рассмотрим второй:

t2+2t+2=0

{{t}^{2}}+2t+2=0

Опытные ученики, наверное, уже поняли, что данная конструкция не имеет корней, но давайте все-таки посчитаем дискриминант.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Дискриминант меньше 0, следовательно, выражение не имеет корней. Итого, огромная конструкция свелась к обычному равенству:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

t=\text{ }1 \\tgx=\text{ }1 \\x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{array}\]

Полезные советы

В заключение хотелось бы добавить пару замечаний по последней задаче:

  1. всегда ли будет выполняться условие cosx≠0\cos x\ne 0,и стоит ли вообще проводить эту проверку. Разумеется, не всегда. В тех случаях, когда cosx=0\cos x=0 является решением нашего равенства, следует вынести его за скобки, и тогда в скобках останется полноценное однородное уравнение.
  2. что такое деление многочлена на многочлен. Действительно, в большинстве школ этого не изучают, и когда ученики впервые видят такую конструкцию, то испытывают легкий шок. Но, на самом деле, это простой и красивый прием, который существенно облегчает решение уравнений высших степеней. Разумеется, ему будет посвящен отдельный видеоурок, который я опубликую в ближайшее время.

Ключевые моменты

Однородные тригонометрические уравнения — любимая тема на всевозможных контрольных работах. Решаются они очень просто — достаточно один раз потренироваться. Чтобы было понятно, о чем речь, введем новое определение.

Однородное тригонометрическое уравнение — это такое, в котором каждое ненулевое слагаемое которого состоит из одинакового количества тригонометрических множителей. Это могут быть синусы, косинусы или их комбинации — метод решения всегда один и тот же.

Степень однородного тригонометрического уравнения — это количество тригонометрических множителей, входящих в ненулевые слагаемые.Примеры:

  1. sinx+15 cos x=0

    \sin x+15\text{ cos }x=0 — тождество 1-й степени;

  2. 2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

    2\text{ sin}2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 — 2-й степени;

  3. sin3x+2sinxcos2x=0

    \sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 — 3-ей степени;

  4. sinx+cosx=1

    \sin x+\cos x=1 — а это уравнение не является однородным, поскольку справа стоит единица — ненулевое слагаемое, в котором отсутствуют тригонометрические множители;

  5. sin2x+2sinx−3=0

    \sin 2x+2\sin x-3=0 — тоже неоднородное уравнение. Элемент sin2x\sin 2x — второй степени (т.к. можно представить

    sin2x=2sinxcosx

    \sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx2\sin x — первой, а слагаемое 3 — вообще нулевой, поскольку ни синусов, ни косинусов в нем нет.

Общая схема решения

Схема решения всегда одна и та же:

Предположим, что cosx=0\cos x=0. Тогда sinx=±1\sin x=\pm 1 — это следует из основного тождества. Подставляем sinx\sin x и cosx\cos x в исходное выражение, и если получается бред (например, выражение 5=05=0), переходим ко второму пункту;

Делим все на степень косинуса: cosx,cos2x,cos3x... — зависит от степенного значения уравнения. Получим обычное равенство с тангенсами, которое благополучно решается после замены tgx=t.

tgx=tНайденные корни будут ответом к исходному выражению.

Смотрите также:
  1. Решаем однородные тригонометрические уравнения
  2. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
  4. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  5. Задачи B6 с монетами
  6. Деление многочленов уголком