Задача B14: движение навстречу

30 января 2014

В этом видео вас ждут сразу две фишки:

  1. Собственно, решение задачи B14 про движение навстречу — помните, что скорости при таком движении складываются.
  2. По условию задачи, нам неизвестно общее расстояние. В смысле, вообще неизвестно — его нельзя найти ни из текста, ни из полученных уравнений.

Как работать с такими задачами? Смотрите урок — и берите на вооружение.:)

Мы продолжаем длинную серию уроков, посвященных текстовым задачам на движение. И сегодня настала очередь для задачи про движение навстречу.

Решаем реальные примеры

Задача:

Из города А в город Б навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город Б на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в А. Встретились они через 4 часа после выезда. Сколько часов затратил на путь из города Б в город А велосипедист?

Итак, решаем эту текстовую задачу. Решать мы ее будем, разумеется, с помощью таблиц. Но прежде чем переходить к решению таблицей, давайте вспомним, что такое скорость встречного движения. Допустим, у нас некий отрезок, соединяющий пункты А и Б. пусть тот, кто выезжает из пункта А, имеет скорость v1{{v}_{1}}, а второй персонаж —v2{{v}_{2}}:

В этом случае они приближаются друг к другу со скоростью vv, равной сумме этих скоростей:

v=v1+v2

v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}. Вот эта несложная формула называется суммарной формулой скорости при встреченном движении.

Итак:

Из А в Б навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Строим нашу стандартную таблицу. И тут к нам на помощь приходит основное правило: где нам в этой таблице поставить xx или переменную yy? Вспоминаем, что первой мы стараемся обозначить vv, затем, если vv нам прямо дана, стараемся обозначить tt, т. е. время — xx или yy. Наконец, если и время нам дано, нужно вводить в качестве переменных SS:

v→t→S

v\to t\to S

Разумеется, два последних шага нас не интересует, потому что в примере нам неизвестна vv ни одного из персонажей. Следовательно, давайте их обозначим за xx и yy. Но есть еще одна проблема: нигде в текстовой задаче нам не указано полное расстояние, которое предстоит проехать нашим персонажам. И вот тут мы поступаем точно также как в текстовых задачах на работу. Вспомните, если в задаче на работу полный объем работы неизвестен, то мы просто обозначаем его за единицу. Для текстовых задач на движение действует точно такое же правило. Если общее расстояние нам неизвестно, а в нашем примере так и происходит, мы обозначаем его за

S=100

S=100. Почему именно 100 км? Просто в тех текстовых задачах, которые попадаются на ЕГЭ, а также на пробниках и контрольных все расстояния крутятся именно вокруг 100 км — бывает чуть больше, бывает чуть меньше, но порядок величины именно такой. Следовательно, если мы предположим, что общее расстояние равно именно 100, то наши ответы и решения как минимум не потеряют своей достоверности, а то и окажутся именно такими, какими и задумали их авторы.

Еще раз: если в условии вообще ничего не сказано про расстояние, то мы смело приравниваем его к 100 км. Таким образом, получаем таблицу, в которой два столбца заполнены, и осталось найти третий столбец. Если

S=v⋅t

S=v\cdot t, то

t=Sv

t=\frac{S}{v}. Сосчитаем время для каждого персонажа: 


SSvvtt
Мот.100xx

100x

\frac{100}{x}
Вел. 100yy

100y

\frac{100}{y}

Идем дальше. В задаче сказано, что мотоциклист приехал в город Б на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в А. Это значит что наши времена, которые мы только что нашли, ни в коем случае не складываются — они сравниваются друг с другом. Поэтому составляем первое уравнение:

100x=100y−6

\frac{100}{x}=\frac{100}{y}-6

И вот тут всегда возникает вопрос: почему именно -6, почему мы не написали это -6, например, слева или вообще почему перед 6 стоит минус? Общее правило здесь следующее:

Возвращаемся к нашему условию: по условию мотоциклист приехал раньше, т. е. его время

100x

\frac{100}{x} —меньше. Оно должно быть равно времени второго участника движения, которое больше, а дальше то же самое ±6\pm 6. Но наша запись явно показывает, что должен стоять именно минус, потому что, чтобы получить меньшее число, нужно вычесть, а ни в коем случае не прибавить. Соответственно, наша конструкция записана корректно. Вот такое простое правило гарантировано избавит вас головной боли при решении задач на движение.

Однако одним выражением рассматриваемая сегодня задача на движение не ограничивается. Дело в том, что есть другое условие: встретились они через 4 часа после выезда. Следовательно, нужно составить еще одну таблицу. Время записываем согласно данным задачи, расстояние запишем как 100, а что касаетсяvv, воспользуемся следующей формулой:

v=v1+v2

v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}, т. е.

v=x+y

v=x+y. Все три величины связаны известной нам формулой:

S=v⋅t

S=v\cdot t

SSvvtt
100x+yx+y4

Запишем следующую конструкцию:

100=(+)⋅4|:4

100=\left( + \right)\cdot 4|:4

+=25

+=25

А теперь решаем систему уравнений. Запишем их вместе:

Erroneous nesting of equation structures

\begin{align}& \left\{ \left. \begin{align}& \frac{100}{x}=\frac{100}{y}-6 \\& x+y=25 \\\end{align} \right\} \right. \\& \\\end{align}

У нас получилось два уравнения и две переменных. Очевидно, что такая система должна решаться довольно просто. Но даже для такой системы можно приметь маленькую, но очень полезную хитрость. Давайте посмотрим, что требуется в условии задачи на движение. Спрашивают: сколько часов затратил на путь велосипедист? Другими словами, нас просят найти величину

100y

\frac{100}{y}, а мы найдем ее, если будем знать у. Именно yy является ключевой переменной, вокруг которой должно быть построено все решение. И вот тут применяем ту самую маленькую хитрость. Звучит она следующим образом:

Если в системе уравнений требуется найти какую-то переменную, т. е. в данном случае у, то в процессе решения через нее нужно выразить все остальные.

Что это значит на практике? Давайте посмотрим на второе уравнение

+=25

+=25. Очевидно, отсюда можно найти и xx, и yy. Но согласно данному замечанию давайте выразим именно xx:

=25−˜

=25-˜

Полученное выражение подставим в первую конструкцию, и получим:

10025−y=100y−6

\frac{100}{25-y}=\frac{100}{y}-6

Что дает нам такая запись? Все очень просто. Взгляните еще раз: в нашем равенстве осталась единственная переменная yy, та самая, которую нам необходимо найти, чтобы получит ответ к текстовой задаче. Именно поэтому я рекомендую выражать все переменные через ту самую переменную, которую мы должны найти. Таким образом, решая данное уравнение, мы сразу получим ответ к нашей текстовой задаче:

10025−y=100y−6|:2

\frac{100}{25-y}=\frac{100}{y}-6\left| :2 \right.

5025−y=50y−3

\frac{50}{25-y}=\frac{50}{y}-3

5025−y=50−3yy

\frac{50}{25-y}=\frac{50-3y}{y}

50y=(25−y)(50−3y)

50y=(25-y)(50-3y)

50y=1250−75y−50y+3y2

50y=1250-75y-50y+3{{y}^{2}}

3y2−175y+1250=0

3{{y}^{2}}-175y+1250=0

Перед нами обычное квадратное тождество:

3y2−175y+1250=0

3{{y}^{2}}-175y+1250=0

Решаем его:

D=17524⋅3⋅25⋅5⋅5⋅2=(25⋅7)2−4⋅3⋅25⋅5⋅5⋅2= 

D={{175}^{2}}4\cdot 3\cdot 25\cdot 5\cdot 5\cdot 2={{(25\cdot 7)}^{2}}-4\cdot 3\cdot 25\cdot 5\cdot 5\cdot 2=\text{ }

=25272−4⋅3⋅252⋅2=252(49−24)=25252

={{25}^{2}}\cdot {{7}^{2}}-4\cdot 3\cdot {{25}^{2}}\cdot 2={{25}^{2}}(49-24)={{25}^{2}}\cdot {{5}^{2}}

D=252 ⋅ 52=25⋅5=125

\sqrt{D}=\sqrt{{{25}^{2}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\text{5}}^{\text{2}}}}=25\cdot \text{5}=\text{125}

Вот мы и нашли дискриминант —без всякого напряга, без всяких умножений столбиком и прочих непотребств. Все, что для этого потребовалось —разложить на множители каждый из слагаемых исходного выражения. Идем далее: считаем корни, т. е. yy:

y=175±1256

y=\frac{175\pm 125}{6}

y1=3006=50

{{y}_{1}}=\frac{300}{6}=50

y2=506=253

{{y}_{2}}=\frac{50}{6}=\frac{25}{3}

Итак, мы получили два варианта скорости: либо скорость второго участника движения равна 50 км/ч, либо

253

\frac{25}{3} км/ч. Как же узнать, какая из этих vv правильная. А все очень просто. Давайте вспомним про наше выражение скоростей: vv мотоциклиста равна 25 минус vv велосипедиста:

=25

=25. Так вот, если скорость второго участника будет равна 50 км/ч, это значит, что мотоциклист едет со скоростью

25−50=−25

25-50=-25 км/ч. Очевидно, это полный бред, vv не может быть отрицательной. Следовательно, vv велосипедиста на самом деле равна

253

\frac{25}{3} км/ч.

Переходим к последнему шагу и выясняем, что нам нужно. Для этого возвращаемся к условию текстовой задачи на движение, и видим, что от нас требуется найти, сколько часов затратил на путь из города Б в город А велосипедист. Другими словами, нам нужно найти величину

100y

\frac{100}{y} . Посчитаем ее:

100y=100253=100:253=100⋅325=12

\frac{100}{y}=\frac{\frac{100}{25}}{3}=100:\frac{25}{3}=100\cdot \frac{\text{3}}{\text{25}}=12

Все, мы нашли ответ: t=12t=12 ч.

Ключевые моменты

И путь вас не пугает большой объем вычислении и длина этой текстовой задачи. Давайте вернемся еще раз в начало и посмотрим ключевые моменты решения.

В первую очередь нужно правильно заполнить таблицу. Для этого помним, что переменные xx и yy мы в первую очередь стараемся ввести дляvv. Затем нас ждет вторая проблема: мы не знаем расстояние. Если расстояние в задаче прямо не указано, смело приравниваем его к 100. Затем воспользуемся формулой сложения скоростей, чтобы получить второе уравнение системы. Разумеется, в первом уравнении системы тоже не все так просто. Нужно грамотно определить, прибавлять или вычитать 6. В данном случае 6 нужно именно вычитать, в чем легко убедиться, если внимательно прочитать условие задачи на движение и заметить, что мотоциклист приехал раньше, т. е. его время меньше. Следовательно, чтобы получить меньшее число, нужно из большего числа вычесть 6. Такой способ самопроверки очень эффективен при решении любых текстовых задач на движение и избавит вас от глупых и обидных ошибок.

Главный вывод из этого видео: если в текстовой задаче неизвестно общее расстояние, просто полагаем, что оно равно 100 км: S=100. Затем смело заполняем стандартную таблицу, составляем уравнение и решаем его.

Но будьте внимательны: данное правило работает только в тех задачах, где расстояние не вычисляется вообще никаким образом! В частности, вы можете обозначить расстояние просто переменной S — и при этом ответ получится тем же. 

Смотрите также:
  1. Движение вдогонку и сравнение времени
  2. Особенности решения текстовых задач
  3. Умножение и деление дробей
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Репетитор по математике: где брать учеников?