Сложные логарифмические неравенства

16 марта 2012

Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:

log k(x) f (x) ∨ log k(x) g(x) ⇒ (f (x) − g(x)) · (k(x) − 1) ∨ 0

Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.

Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить — см. «Что такое логарифм».

Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:

f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.

Задача. Решите неравенство:

Простое логарифмическое неравенство

Для начала выпишем ОДЗ логарифма:

ОДЗ логарифма: основание и аргумент

Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:

x2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:

Преобразование логарифмического неравенства

Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:

(10 − (x2 + 1)) · (x2 + 1 − 1) < 0;
(9 − x2) · x2 < 0;
(3 − x) · (3 + x) · x2 < 0.

Нули этого выражения: x = 3; x = −3; x = 0. Причем x = 0 — корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем:

Решаем неравенство методом интервалов

Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.

Преобразование логарифмических неравенств

Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами — см. «Основные свойства логарифмов». А именно:

  1. Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием;
  2. Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.

Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:

  1. Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство;
  2. Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов;
  3. Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.

Задача. Решите неравенство:

Сложное логарифмическое неравенство

Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:

ОДЗ первого логарифма

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Затем — нули знаменателя:

x − 1 = 0;
x = 1.

Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:

Аргумент логарифма - только положительное число

Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите — можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:

Преобразование логарифма

Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:

Упрощение логарифмического неравенства

log 2 (x − 1)2 < 2;
log 2 (x − 1)2 < log 2 22.

Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:

(f (x) − g(x)) · (k(x) − 1) < 0;
((x − 1)2 − 22)(2 − 1) < 0;
x2 − 2x + 1 − 4 < 0;
x2 − 2x − 3 < 0;
(x − 3)(x + 1) < 0;
x ∈ (−1; 3).

Получили два множества:

  1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
  2. Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3).

Осталось пересечь эти множества — получим настоящий ответ:

Пересечение ОДЗ и кандидатов на ответ

Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) — все точки выколоты.

Смотрите также:
  1. Дробно-рациональные неравенства с логарифмами
  2. Неравенства, квадратные относительно логарифма
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
  4. Работа с формулами в задаче B12
  5. Так сокращать дроби нельзя!
  6. Формулы приведения: ускоряем вычисления в тригонометрии