Задача 7: касательная к графику функции

16 января 2014

Существует целый класс задач B9, в которых вообще не дается график функции. Все, что известно — это уравнение функции и касательной. И сегодня мы будем учиться решать именно такие задачи.

В этой короткой серии уроков мы разберем непростые задачи, которые не так часто встречаются в настоящем ЕГЭ по математике. Однако если встречаются, то у многих учеников вызывают серьезные затруднения. Речь идет о касательных, заданных уравнением, функция которого также задана своим уравнением. Никаких графиков в этих задачах нет. Более того, отдельные два видеоурока будут посвящены примерам, содержащие параметры. И хотя, на первый взгляд, может показаться, что параметры — это очень сложно, на самом деле, такие задания решаются буквально в несколько строчек.

Решаем реальный пример

Итак, первая задача:

Прямая\[y˜=16x-38\]является касательной к графику функции:

\[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+7x-11\]

Найдите абсциссу точки касания.

Прежде всего, давайте вообще вспомним, что такое касательная к графику функции. Итак, у нас есть некий график, а также прямая, которая касается этого графика, т. е. пересекает график только в одной точке, причем угол ее пересечения с осью $Ox$, точнее, тангенс этого угла равен значению производной в этой точке:

\[tg\lambda ={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\]

Теперь переведем формальное определение на понятный человеку язык. Во-первых, поскольку наша прямая, заданная уравнением, является касательной, то эти уравнения обязательно имеют общую точку, т. е. они имеют общее решение. Следовательно, мы можем приравнять их правые части, т. е.:

\[16x-38={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+7x-11\]

С другой стороны, поскольку речь идет о касательной к графику, а не о произвольной секущей, мы вправе потребовать, чтобы равны были не только сами функции, но еще и их производные, т. е.:

\[{{\left( 16x-38 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-11 \right)}^{\prime }}\]

Давайте займемся первым выражением:

\[16x-38={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+7x-11\]

\[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+7x-11-16x+38=0\]

\[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x+27=0\]

Вот мы получили первую конструкцию. Это уравнение третьей степени. Для его решения можно попробовать разложить этот многочлен на множители, и, действительно, после определенных преобразований и нескольких строчек вычислений мы получим несколько кандидатов на ответ. Однако вспомним, что речь идет о простой задаче из ЕГЭ по математике, причем задача из части В. Следовательно, она должна решаться гораздо проще без всяких разложений. И именно для этого нам дано второе уравнение. Мы уже приравняли производные, а теперь давайте посчитаем их:

\[{{\left( 16x-38 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=7x-11 \right)}^{\prime }}\]

\[16=3{{x}^{2}}-6x+7\]

\[3{{x}^{2}}-6x+7-16=0\]

\[3{{x}^{2}}-6x-9=0\]

\[{{x}^{2}}-2x-3=0\]

Мы получили уравнение второй степени. Данное тождество легко решается и через дискриминант, и по формулам Виета. Давайте решим его по формуле Виета:

\[\left( -3 \right)\left( +1 \right)=0\]

\[{{}_{1}}=3\]

\[{{}_{2}}=-1\]

Вот мы и получили два корня, это два кандидата на ответ, т. е. те абсциссы, в которых производная нашей касательной к графику функции равна производной. Теперь возвращаемся к нашей исходной конструкции и вспоминаем, что помимо производных сами функции тоже должны быть равны, т. е. из полученных нами иксов нужно выбрать те, которые удовлетворяют уравнению. Давайте подставим\[=3\]:

\[27-27-27+27=0\]

\[0=0\]

Очевидно, что\[=3\]является корней обоих выражений — и нашего исходного, и производной. На этом можно было бы закончить решение, но давайте для надежности мы подставим и\[=-1\]:

\[-1-3\cdot 1-9\cdot \left( -1 \right)+27=0\]

\[-\text{ }4+9+27=0\]

\[32\ne 0\]

Очевидно, что данное выражение не является равенством. Следовательно,\[=-1\]не является корнем нашего тождества. Отсюда заключаем, что единственным корнем, удовлетворяющим все требования, является\[=3\]. Это и является ответом к задаче. Мы нашли абсциссу точки касания к графику.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по ключевым шагам решения. 

В первую очередь, что значит, что прямая является касательной графику функции? Это значит, что данная прямая и $f\left( x \right)$ имеют общее решение. Следовательно, мы можем приравнять $y$ из выражений. Мы получим первое тождество. 

Однако после его преобразования, мы получим уравнение третьей степени, а поскольку такая конструкция вообще решается довольно сложно и к тому же имеет несколько корней, мы записываем вспомогательное равенство, вспоминая о том, что речь идет именно о касательных к графику функции, т. е. помимо самих $f\left( x \right)$ равными должны быть еще и их производные. В нашем случае производные легко считаются. Итого у нас получилось простое квадратное равенство, которое затем легко решается, и получается два корня.

Возникает вопрос: какой из этих корней является правильным ответом? Чтобы найти правильный ответ, достаточно каждое из этих чисел подставить в наше уравнение, которое мы получили в самом начале. Здесь мы и получим, что один из корней нас полностью устраивает, а второй корень — нет, т. е. он точно не является решением. 

С точки зрения геометрии происходит следующее. Допустим, что у нас есть вот такая функция: 

У нее есть точка максимума и точка минимума. В обоих случаях производная равна нулю, и, следовательно, касательная, проведенная через каждую из этих точек, тоже имеет производную, равную 0, т. е. она горизонтальна. Однако, как мы видим, не существует такой касательной к графику функции. Если касательная проходит сверху, то она никак не сможет пересечь кривую в нижнем значении. И, наоборот, если мы рассматриваем касательную в нижней точке, то она никак не сможет пересечь нашу кривую в верхнем значении. Этим и объясняется, что хотя производная функции равна производной касательной в двух точках, в итоге в нашем уравнении нас удовлетворяет лишь одна из них. 

Задачи B9 такого типа действительно встречаются на ЕГЭ. Как правило, в процессе решения таких задач возникают целые системы уравнений, которые надо уметь решать. В этом и следующих видеоуроках мы последовательно рассмотрим такие «нестандартные» задачи — от самых простых (как сегодня) до действительно серьезных — с параметром и квадратичной функцией.

Смотрите также:
  1. Задача 7: касательная к графику функции — 2
  2. Задача 7 — геометрический смысл производной
  3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
  4. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Семинар по задачам B10: теория вероятностей