Возьмём прямую $AB$ и отметим на ней точку $M$. Получим развёрнутый угол $AMB:$
Проведём из точки $M$ луч $MN$, не совпадающий с лучами $MA$ и $MB$.
Получим два новых угла: $\angle AMN$ и $\angle BMN$. Эти углы и называются смежными.
Определение. Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две других образуют прямую (или, что то же самое, являются дополнительными лучами).
Обратите внимание: чтобы углы стали смежными, им недостаточно просто иметь общую сторону. Вот эти углы — не смежные, хотя они и имеют общую сторону:
А вот дальше — смежные, хотя и расположены немного непривычно:
Часто смежные углы возникают в точке пересечения прямых. Например, при пересечении двух прямых
образуется четыре пары смежных углов: $\angle ASM$ и $\angle ASN$; $\angle BSM$ и $\angle MSN$; $\angle ASN$ и $\angle BSN$; наконец, $\angle ASM$ и $\angle BSM$.
2. Основное свойство внешних углов
У смежных углов есть замечательное свойство, которое будет преследовать нас на протяжении всей геометрии, до конца 11 класса.
Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$ с общей стороной $MN$:
Поскольку луч $MN$ делит угол $AMB$ на смежные углы $AMN$ и $BMN$, по основному свойству углов
\[\angle AMB=\angle AMN+\angle BMN\]
Но угол $AMB$ — развёрнутый, поэтому
\[\angle AMN+\angle BMN={180}^\circ \]
Другими словами, если один угол равен $\alpha $, то смежный с ним равен ${180}^\circ -\alpha $. Или если известно, что углы $\alpha $ и $\beta $ — смежные, то $\alpha +\beta ={180}^\circ $.
Казалось бы, элементарные рассуждения, но их вполне достаточно, чтобы решать большой класс задач.
Задача 1. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:
$\angle ABC={36}^\circ $.
$\angle ABC={121}^\circ $.
Решение
1) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет тупым:
Тогда $x=180-36=144$.
2) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет острым:
Тогда $x=180-121=59$.
Немного усложним задачу.
Задача 2. Найдите смежные углы, если:
один из них на 68° больше другого.
один из них в 5 раз больше другого.
их градусные меры относятся как 5 : 4.
Решение.
1) Пусть один из углов равен $x$. Тогда другой (очевидно, больший) будет равен $x+68$.
Поскольку углы смежные, их сумма равна 180 градусов:
Мы нашли меньший угол — он равен 30 градусов. Тогда второй угол равен $5x=150$ градусов.
3) В задачах с отношениями величинам удобно обозначать их кратными некоторой переменной. Например, если углы относятся как 5 к 4, то пусть величина одного угла будет $5x$, а другого — $4x$.
Получается, что биссектрисы смежных углов всегда пересекаются под углом 90°. Этот факт известен далеко не всем ученикам. Хотя он вполне может встретиться, например, на ЕГЭ.
Задача 3. Углы $ABC$ и $MBC$ смежные, $\angle ABC={70}^\circ $. Луч $BD$ принадлежит углу $ABC$, причём $\angle ABD={40}^\circ $. Найдите угол между биссектрисами углов $CBD$ и $MBC$.
Решение. Изобразим все углы на рисунке:
Видим, что углы $ABD$ и $MBD$ — смежные. Следовательно
Это и есть искомый угол между биссектрисами. Он равен 70 градусов.
Задача 4. Дан треугольник $ABC$. Лучи $AM$ и $CN$ лежат на одной прямой со стороной $AB$ (см. рисунок). Известно, что $\angle MAC+\angle ABC={180}^\circ $. Докажите, что $\angle MAC=\angle NBC$.
Пусть $\angle ABC=x$. Тогда из условия следует, что $\angle MAC={180}^\circ -x$.
С другой стороны, углы $ABC$ и $NBC$ смежные, поэтому $\angle NBC={180}^\circ -x$.
Получается, что углы $MAC$ и $NBC$ равны одному и тому же выражению. Следовательно, $\angle MAC=\angle NBC$, что и требовалось доказать.
