Смежные углы в геометрии

Два угла называются смежными, если у них общая вершина, общая сторона, а две других стороны образуют прямую.

В этом уроке:

  1. Что такое смежные углы
  2. Основное свойство смежных углов
  3. Биссектрисы смежных углов
  4. Тренировочные задачи

Это довольно простая, но очень важная тема.

1. Что такое смежные углы

Возьмём прямую $AB$ и отметим на ней точку $M$. Получим развёрнутый угол $AMB:$

Развёрнутый угол

Проведём из точки $M$ луч $MN$, не совпадающий с лучами $MA$ и $MB$.

Смежный угол

Получим два новых угла: $\angle AMN$ и $\angle BMN$. Эти углы и называются смежными.

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две других образуют прямую (или, что то же самое, являются дополнительными лучами).

Обратите внимание: чтобы углы стали смежными, им недостаточно просто иметь общую сторону. Вот эти углы — не смежные, хотя они и имеют общую сторону:

Углы с общей стороной

А вот дальше — смежные, хотя и расположены немного непривычно:

Нестандартные смежные углы

Часто смежные углы возникают в точке пересечения прямых. Например, при пересечении двух прямых

Пересечение двух прямых

образуется четыре пары смежных углов: $\angle ASM$ и $\angle ASN$; $\angle BSM$ и $\angle MSN$; $\angle ASN$ и $\angle BSN$; наконец, $\angle ASM$ и $\angle BSM$.

2. Основное свойство внешних углов

У смежных углов есть замечательное свойство, которое будет преследовать нас на протяжении всей геометрии, до конца 11 класса.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$ с общей стороной $MN$:

Смежный угол

Поскольку луч $MN$ делит угол $AMB$ на смежные углы $AMN$ и $BMN$, по основному свойству углов

\[\angle AMB=\angle AMN+\angle BMN\]

Но угол $AMB$ — развёрнутый, поэтому

\[\angle AMN+\angle BMN={180}^\circ \]

Другими словами, если один угол равен $\alpha $, то смежный с ним равен ${180}^\circ -\alpha $. Или если известно, что углы $\alpha $ и $\beta $ — смежные, то $\alpha +\beta ={180}^\circ $.

Казалось бы, элементарные рассуждения, но их вполне достаточно, чтобы решать большой класс задач.

Задача 1. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:

  1. $\angle ABC={36}^\circ $.
  2. $\angle ABC={121}^\circ $.

Решение

1) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет тупым:

Смежный угол 36 градусов

Тогда $x=180-36=144$.

2) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет острым:

Смежный угол 121 градус

Тогда $x=180-121=59$.

Немного усложним задачу.

Задача 2. Найдите смежные углы, если:

  1. один из них на 68° больше другого.
  2. один из них в 5 раз больше другого.
  3. их градусные меры относятся как 5 : 4.

Решение.

1) Пусть один из углов равен $x$. Тогда другой (очевидно, больший) будет равен $x+68$.

Один смежный угол на 68 больше другого

Поскольку углы смежные, их сумма равна 180 градусов:

\[\begin{align}2x+68&=180 \\ 2x&=112 \\ x&=56 \end{align}\]

Итак, один угол равен 56 градусов. Тогда другой равен $x+68=124$ градуса.

2) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним равен $5x$.

Один смежный угол в 5 раз больше другого

Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому

\[\begin{align}5x+x&=180 \\ 6x&=180 \\ x&=30 \end{align}\]

Мы нашли меньший угол — он равен 30 градусов. Тогда второй угол равен $5x=150$ градусов.

3) В задачах с отношениями величинам удобно обозначать их кратными некоторой переменной. Например, если углы относятся как 5 к 4, то пусть величина одного угла будет $5x$, а другого — $4x$.

Смежные углы относятся как 5 к 4

Сумма смежных углов вновь равна 180 градусов:

\[\begin{align}5x+4x&=180 \\ 9x&=180 \\ x&=20 \end{align}\]

Поэтому сами углы равны $4x=80$ и $5x=100$ градусов.

3. Биссектрисы смежных углов

Вновь рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$:

Смежный угол

Построим биссектрису $MC$ угла $AMN$ и биссектрису $MD$ угла $BMN$:

Биссектрисы смежных углов

Если $\angle AMC=x$ и $\angle BMD=y$, то $\angle AMN=2x$ и $\angle BMN=2y$. Это смежные углы, поэтому

\[\begin{align}2x+2y&={180}^\circ \\ x+y&={90}^\circ \end{align}\]

Получается, что биссектрисы смежных углов всегда пересекаются под углом 90°. Этот факт известен далеко не всем ученикам. Хотя он вполне может встретиться, например, на ЕГЭ.

Задача 3. Углы $ABC$ и $MBC$ смежные, $\angle ABC={70}^\circ $. Луч $BD$ принадлежит углу $ABC$, причём $\angle ABD={40}^\circ $. Найдите угол между биссектрисами углов $CBD$ и $MBC$.

Решение. Изобразим все углы на рисунке:

Смежный угол 40 и биссектрисы

Видим, что углы $ABD$ и $MBD$ — смежные. Следовательно

\[\begin{align}\angle MBD&={180}^\circ -\angle ABD= \\ &={180}^\circ -{40}^\circ ={140}^\circ \end{align}\]

Синим цветом отмечены биссектрисы углов $CBD$ и $MBC$. Обозначим величину углов переменными: $\angle CBD=2x$, $\angle MBD=2y$. Но $\angle MBD=\angle MBC+\angle CBD$, поэтому

\[\begin{align}2x+2y&=140 \\ x+y&=70 \end{align}\]

Это и есть искомый угол между биссектрисами. Он равен 70 градусов.

Задача 4. Дан треугольник $ABC$. Лучи $AM$ и $CN$ лежат на одной прямой со стороной $AB$ (см. рисунок). Известно, что $\angle MAC+\angle ABC={180}^\circ $. Докажите, что $\angle MAC=\angle NBC$.

Треугольник ABC и смежные углы

Пусть $\angle ABC=x$. Тогда из условия следует, что $\angle MAC={180}^\circ -x$.

С другой стороны, углы $ABC$ и $NBC$ смежные, поэтому $\angle NBC={180}^\circ -x$.

Получается, что углы $MAC$ и $NBC$ равны одному и тому же выражению. Следовательно, $\angle MAC=\angle NBC$, что и требовалось доказать.

Смотрите также:
  1. Что такое вертикальные углы
  2. Перпендикулярные прямые — определение и свойства
  3. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  4. Задание 6 — геометрия с элементами тригонометрии
  5. Интегрирование по частям
  6. Задача B4: расчет времени в пути