Задача C2: уравнение плоскости через определитель

23 ноября 2012

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости. Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока — «Матрицы и определители». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x3, y3, z3);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A, B, C и D — коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ — подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала — теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x1, y1, z1); N = (x2, y2, z2); K = (x3, y3, z3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

уравнение плоскости через определитель

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

подставляем в определитель конкретные точки.

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = ab = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = xy + z − 1;
d = 0 ⇒ xy + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x, y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

составляем уравнение плоскости через определитель

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = ab = z − (x + y) = zx − y;
d = 0 ⇒ zxy = 0 ⇒ x + yz = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется — чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель — и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x2 или x3, а в какой — просто x. Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x3, y3, z3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x, y, z)

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x2x1, y2y1, z2z1);
MK = (x3x1, y3y1, z3z1);
MT = (xx1, yy1, zz1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы — и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

уравнение плоскости через определитель

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN, MK и MT, равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x, y, z) — как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2. Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

замена опорной точки в определителе

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x; y; z) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

замена строк в определителе

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x, y и z, которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

формат определителя для составления уравнения плоскости

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

определитель с переменными в нижней строчке

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = ab = y − (2 − xz) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0.

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x, y, z не внизу, а вверху:

строчка с переменными записана вверху

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = ab = 2 − xz − y;
d = 0 ⇒ 2 − xyz = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Смотрите также:
  1. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  2. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
  3. Решение квадратных уравнений
  4. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Семинар по задачам B10: теория вероятностей