Следствия из теоремы Виета

8 ноября 2011

Рассмотрим несколько более «тонких» и неочевидных фактов, которые напрямую следуют из теоремы Виета и дают еще больше информации о корнях квадратного уравнения. То, о чем я сейчас расскажу, известно не более 5—10% старшеклассников. Работа с такими приемами — это заявка на более глубокий уровень понимания и определенную математическую культуру.

Для начала вспомним стандартную теорему Виета (см. урок «Теорема Виета»), а затем рассмотрим следствия из нее:

Теорема Виета. Пусть приведенное квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0 (коэффициент a = 1) имеет действительные корни x1 и x2. Тогда:

  1. x1 + x2 = −b — сумма корней равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
  2. x1 · x2 = c — произведение корней равно свободному коэффициенту.

Следствие 1. Если в приведенном квадратном уравнении вида x2 + bx + c = 0 коэффициент c > 0, то корни x1 и x2 имеют одинаковый знак. И наоборот, если коэффициент c < 0, корни x1 и x2 будут разных знаков.

Следствие 2. Если в том же уравнении x1 + x2 = −b > 0 (т.е. сумма корней положительна), то возможны 2 варианта: либо оба корня положительны, либо модуль положительного корня больше модуля отрицательного.

И наоборот, если x1 + x2 = −b < 0 (т.е. сумма корней отрицательна), то опять же есть 2 варианта: либо все корни отрицательны, либо модуль положительного корня меньше модуля отрицательного.

Примеры:

  1. x2 − 13x + 22 = 0. По теореме Виета имеем:
    x1 · x2 = 22 > 0 — корни одного знака, поскольку их произведение положительно;
    x1 + x2 = −(−13) = 13 > 0 — оба корня положительны, поскольку их сумма положительна;
  2. x2 + 12x + 35 = 0. По теореме Виета имеем:
    x1 · x2 = 35 > 0 — корни одного знака, поскольку их произведение положительно;
    x1 + x2 = − 12 < 0 — оба корня отрицательны, поскольку их сумма отрицательна;
  3. x2 − 5x − 24 = 0. По теореме Виета имеем:
    x1 · x2 = −24 < 0 — корни разных знаков, поскольку их произведение отрицательно;
    x1 + x2 = −(−5)= 5 > 0 — модуль положительного корня больше модуля отрицательного, поскольку сумма корней положительна;
  4. x2 + 4x − 5 = 0. По теореме Виета имеем:
    x1 · x2 = −5 < 0 — корни разных знаков, поскольку их произведение отрицательно;
    x1 + x2 = −4 < 0 — отрицательный корень по модулю больше положительного, поскольку их сумма отрицательна.

Как применять эти факты на практике? Тем, кто только начинает работать по теореме Виета, подобная информация окажется бесполезной и даже избыточной. Но после некоторой практики вы сами начнете замечать, что эти следствия иногда значительно упрощают жизнь и помогают еще точнее «угадывать» корни квадратного уравнения.

Задача. Решите квадратные уравнения:

  1. x2 − 9x + 14 = 0;
  2. x2 + 8x − 15 = 0;
  3. x2 − 3x − 4 = 0;
  4. x2 + 3x + 40 = 0.
  1. x2 − 9x + 14 = 0 ⇒ по теореме Виета: x1 + x2 = −(−9) = 9; x1 · x2 = 14. Из второго следует, что корни одного знака. А поскольку их сумма положительна, оба корня положительны. Очевидно, это числа 2 и 7;
  2. x2 + 8x + 15 = 0 ⇒ по теореме Виета: x1 + x2 = −8; x1 · x2 = 15. Поскольку 15 > 0, корни снова одного знака. Но поскольку их сумма отрицательна, то все они отрицательны. Например, это числа −3 и −5;
  3. x2 − 3x − 4 = 0 ⇒ по теореме Виета: x1 + x2 = −(−3) = 3; x1 · x2 = −4. Итак, произведение отрицательно, поэтому корни разных знаков. Но сумма корней положительна, т.е. модуль положительного корня больше модуля отрицательного. Получаем корни: 4 и −1;
  4. x2 + 3x − 40 = 0 ⇒ по теореме Виета: x1 + x2 = −3 = 3; x1 · x2 = −40. Произведение отрицательно — корни разных знаков. Сумма тоже отрицательна — модуль отрицательного корня больше модуля положительного. Корни: 5 и −8.

В дополнение рассмотрим хорошее правило, которое поможет избежать путаницы:

Решая квадратные уравнения, думайте в первую очередь о знаках корней, а не коэффициентов!

Например, x2 + x − 2 = 0 ⇒ по теореме Виета: x1 · x2 = −2 — произведение корней отрицательно. Кроме того, x1 + x2 = −1 — сумма корней тоже отрицательна. Корни: x1 = 1; x2 = −2.

Заметьте: нигде не упоминается слово «коэффициент». В приведенных выше задачах — тоже. Поэтому еще раз повторяю: думайте о корнях квадратного уравнения, а не о коэффициентах.

Сложные квадратные уравнения

Квадратные уравнения изучаются в 8-м классе, где школьники тренируются на простых (иногда — примитивных) задачах. Но затем, на рубеже 10—11 классов и особенно при изучении высшей математики, квадратные уравнения представляются как нечто само собой разумеющееся. При этом в коэффициентах зачастую возникают такие большие числа, что работать с ними большинство учеников просто не готовы.

Например, попробуйте решить уравнение: x2 + 27x − 3240 = 0. Корни у него будут вполне нормальными, вот только дискриминант равен D = 272 − 4 · 1 · (−3240) = 13689. Ну и какое число надо возвести в квадрат, чтобы получить 13689? С помощью калькулятора все просто: 13689 = 1172. Но как догадаться об этом на экзамене или контрольной работе?

Теорема Виета помогает решать даже такие уравнения. Без всяких корней из пятизначных чисел — схема работы остается прежней. В результате экономится фантастически много времени, ведь многие километровые уравнения оказываются почти устными!

Чтобы почувствовать всю силу теоремы Виета, взгляните на приведенные ниже задачи. Хочу отметить, что это настоящие задачи из ЕГЭ по математике, а не плоды моего больного воображения. Для сравнения попробуйте решить их по старинке, через дискриминант. Разницу почувствуете сразу же.

Задача. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на 55 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час 6 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Это текстовая задача. Пусть скорость велосипедиста равна x, тогда скорость автомобилиста равна x + 55. Расстояние одно и то же — 30 км, поэтому задача сводится к дробно-рациональному уравнению:

Дробно−рациональное уравнение

Эта конструкция сводится к простому квадратному уравнению: x2 + 55x − 1500 = 0. Как видим, коэффициенты получились весьма неслабыми.

Решаем по теореме Виета: x1 + x2 = −55; x1 · x2 = −1500. Произведение корней отрицательно, значит корни разных знаков. Сумма корней тоже отрицательна, значит отрицательный корень по модулю больше положительного. Несложно угадать эти числа: −75 и 20.

По условию задачи, x это скорость велосипедиста, а скорость не может быть отрицательной. Поэтому нас интересует лишь число 20.

Задача. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получении экспериментально и на исследуемом интервале температур дается выражением T(t) = T0 + at + bt2, где T0 = 800 K, a = 52 К/мин, b = −0,4 К/мин. Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его надо отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы надо отключать прибор.

Снова текстовая задача. Правда, в этот раз формула нам уже дана. Подставляем числа — получаем квадратное уравнение: 2000 = −0,4t2 + 52t + 800. Решаем это уравнение:

2000 = −0,4t2 + 52t + 800 ⇒ 2000 + 0,4t2 − 52t − 800 = 0 ⇒ 0,4t2 − 52t + 1200 = 0 ⇒ t2 − 130t + 3000 = 0.

Получили приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета имеем: t1 + t2 = −(−130) = 130; t1 · t2 = 3000. Из произведения следует, что корни одного знака. А поскольку их сумма положительна, то оба корня положительны. Если внимательно посмотреть на уравнение, то корни буквально «напрашиваются»: t1 = 30; t2 = 100.

Итак, температура пересечет 2000−градуснуют отметку через 30 минут и через 100 минут. Очевидно, прибор надо выключить в 30 минут, иначе до 100 минут он просто «не доживет».

Задача. Для одного из предприятий−монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p. Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.

Подставляем значения переменных q = 75 − 5p и r = 270 в формулу r = q · p. Получаем уравнение:

270 = p(75 − 5p) ⇒ 270 = 75p − 5p2 5p2 − 75p + 270 = 0 ⇒ p2 − 15p + 54 = 0;

В результате несложных преобразований получили приведенное квадратное уравнение. Используем теорему Виета: p1 + p2 = −(−15) = 15; p1 · p2 = 54. Произведение положительно — корни одного знака. Сумма положительна — значит, оба корня положительны. А именно: p1 = 6; p2 = 9.

Поскольку в задаче требуют определить максимальный уровень, выбираем число 9.

Смотрите также:
  1. Как решать биквадратное уравнение
  2. Теорема Виета
  3. Тест к уроку «Простые проценты» (легкий)
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 5 (без производной)
  5. Усердный труд — залог отличной оценки на экзамене
  6. Задача B15: что делать с квадратичной функцией